Les nombres entiers relatifs sont une extension des nombres entiers naturels où l’existence d’une soustraction fournit un cadre mieux approprié à certaines questions d’arithmétique. On peut les décrire de manière axiomatique, mais aussi les construire à partir de l’ensemble des entiers naturels et d’un peu de théorie naïve des ensembles.

L’intuition des nombres entiers relatifs

Les nombres entiers relatifs \(\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\) forment un ensemble intuitif \(\mathbb Z\), qui est une extension de l’ensemble \(\mathbb N\) des nombres entiers naturels (voir Qu’est-ce qu’un nombre entier naturel ? Définir ou axiomatiser). On y a ajouté à ces derniers des opposés pour l’addition, c’est-à-dire, pour tout entier naturel \(n\), un entier relatif \(-n\) tel que \(n+(-n)=0\). Tout entier relatif \(n\) possède donc un opposé \(-n\) pour l’addition, et ceci permet alors de définir une nouvelle opération, la soustraction de deux entiers quelconques \(a\) et \(b\), en posant \(a-b=a+(-b)\).

Dans l’ensemble \(\mathbb Z\) on peut prolonger les opérations usuelles \(+\) et \(\times\) entre les entiers naturels, ainsi que la relation \(<\) d’ordre strict qui permet de les comparer. L’intérêt élémentaire principal de l’ensemble \(\mathbb Z\) est que les relations entre l’addition et la multiplication s’y prolongent. Par exemple, la distributivité de la multiplication sur l’additon y est encore valable : si \(m,n,p\) sont trois entiers relatifs, on a toujours l’égalité \(m\times (n+p)=m\times n+m\times p\). Grâce à l’existence de la soustraction, on peut alors simplifier des démonstration de théorèmes d’arithmétique, comme celui qui permet de définir la division euclidienne. C’est aussi un cadre plus naturel d’expression pour certains de ces théorèmes, comme le théorème de Bézout : si \(m\) et \(n\) sont deux entiers relatifs de plus grand commun diviseur \(d\), il existe alors deux entiers relatifs \(u,v\) tels que \(au+bv=d\).

Plutôt construire les entiers relatifs

En mathématiques, on aime bien faire l’économie des principes premiers (axiomes, postulats), et plutôt que d’admettre « l’existence » d’un tel ensemble \(\mathbb Z\) avec ces propriétés, on préfère alternativement le construire. Une telle « construction » est un premier exemple de la définition d’un système de nombres à partir d’un système plus simple, ici l’ensemble \(\mathbb N\) des entiers naturels. Grâce à la théorie naïve des ensembles (voir Qu’est-ce qu’un ensemble ? Fonder la mathématique dans l’intuition), on peut ainsi faire reposer la description de l’ensemble \(\mathbb Z\) sur les seuls axiomes décrivant l’ensemble \(\mathbb N\).

L’idée sous-jacente à une telle construction ou représentation des entiers relatifs, est de considérer ceux-ci comme des opérations sur les entiers naturels. Une telle opération est alors conceptualisée par un couple \((a,b)\) d’entiers naturels, qui représente « ce qu’il faut additionner » pour obtenir \(b\) à partir de \(a\). Autrement dit, le couple \((a,b)\) représente la « soustraction » \(b-a\) dans l’ensemble \(\mathbb Z\) qu’on veut décrire. L’ordre a son importance : le couple \((b,a)\) est différent du couple \((a,b)\), et représente bien entendu une autre opération, à savoir \(a-b\) !

Une extension naturelle de l’ensemble \(\mathbb N\)

Grâce à cette représentation, on peut déjà considérer tout entier naturel \(n\) comme une « opération », à savoir \((0,n)\), puisque \(n-0\) doit correspondre à \(n\) dans l’ensemble \(\mathbb Z\). Il faut remarquer ici que si \(a\) est un entier naturel quelconque, l’opération \((a,a+n)\) représente aussi l’entier naturel \(n\) ! L’intérêt de la construction apparaît toutefois lorsque l’on choisit \(a,b\in\mathbb N\) tels que \(a>b\), car alors le couple \((a,b)\) ne représente aucun entier naturel \(n\), puisqu’il n’existe pas de tel entier tel que \(b-a=n\), puique \(b-a\) serait strictement négatif ! Cela signifie également que pour tout entier naturel \(n\), on pourra représenter l’opposé « \(-n\) » de \(n\) comme le couple \((n,0)\).

Mais attention : comme nous l’avons noté, plusieurs couples représentent la même opération entre deux entiers naturels, donc le même entier relatif. En effet, tout couple \((a,b)\) représente la même opération (à savoir \((b-a)\)) que le couple \((a+n,b+n)\), pour \(n\) un entier naturel quelconque, puisque \((b+n)-(a+n)=b+n-a-n=b-a\). Ceci signifie que ce n’est pas l’ensemble des couples \((a,b)\) d’entiers naturels qui doit représenter l’ensemble \(\mathbb Z\) des entiers relatifs. En fait, on dit que deux couples \((a,b)\) et \((c,d)\) sont équivalents si ils représentent le même entier relatif intuitif, et cela revient à dire que \(b-a=d-c\), autrement dit que \(a+d=b+c\). Un nombre entier relatif est donc un ensemble de couples \((a,b)\) de nombres entiers naturels équivalents, qu’on note \([(a,b)]\). Ainsi, si \((a,b)\) et \((c,d)\) sont équivalents, on a \([(a,b)]\)=\([(c,d)]\), et réciproquement !

Représentation des entiers relatifs construits comme « ensembles de couples d’entiers naturels équivalents » (les couples d’entiers naturels sont représentés comme noeuds du plan à coordonnées entières). Chaque demi-droite représente un entier relatif en reliant les couples qui représentent le même entier. Les demi-droites en rouge représentent les entiers strictement négatifs, la demi-droite bleue représente le zéro, et les demi-droites en vert représentent les entiers strictement positifs.

Le prolongement de \(+\), \(\times\) et \(<\) aux entiers relatifs

Si on considère désormais l’ensemble \(\mathbb Z\) comme l’ensemble de ces « classes d’équivalence » de couples de nombres entiers naturels, on peut prolonger l’addition des entiers naturels par \([(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]\) et leur multiplication par \([(a,b)]\times [(c,d)]=[(bd+ac,ad+bc)]\). On peut aussi prolonger l’ordre \(<\) entre entier naturels en décrétant que \([(a,b)]<[(c,d)]\) si et seulement si \(a+d<b+c\). De cette manière, les propriétés élémentaires usuelles de \(+\), \(\times\) et \(<\) se prolongent de l’ensemble \(\mathbb N\) à l’ensemble \(\mathbb Z\) tel que nouvellement construit. Et on remarque, c’est le but de la construction, que tout entier relatif \([(a,b)]\) possède désormais un opposé pour l’addition, à savoir \([(b,a)]\), puisque par définition, on a l’égalité \([(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[0,0]\), et que \([(0,0)]\) est évidemment le « zéro » de l’addition. On pourrait démontrer toutes les propriétés intuitives de \(\mathbb Z\) à partir de ces définitions.

Une fois qu’on compris cette construction, pour \(n\) un entier naturel on peut noter encore \(n\) l’entier relatif \([(0,n)]\), et \(-n\) l’entier relatif \([(n,0)]\), puis oublier tout ce qu’on vient de faire, pour utiliser les entiers relatifs comme on en a l’habitude ! Seulement, on sait désormais que l’ensemble \(\mathbb Z\) des entiers relatifs peut être décrit à partir du seul ensemble \(\mathbb N\) des entiers naturels et de ses axiomes, et des principes de la théorie naïve des ensembles…

Retrouvez l’article en vidéo sur MATHESIS, la chaîne YouTube :

Pour aller plus loin

La théorie élémentaire des nombres entiers relatifs prolonge et approfondit l’arithmétique de l’ensemble \(\mathbb N\) des nombres entiers naturels. Découvrez la théorie axiomatique des ensembles \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\) et \(\mathbb Q\) dans le cours numéro 3 du semestre I de MATHESIS :

Mathesis 1.3 : Arithmétique Elémentaire (Des nombres entiers naturels aux nombres rationnels)