Les nombres entiers relatifs sont une extension des nombres entiers naturels où l’existence d’une soustraction fournit un cadre mieux approprié à certaines questions d’arithmétique. On peut les décrire de manière axiomatique, mais aussi les construire à partir de l’ensemble des entiers naturels et d’un peu de théorie naïve des ensembles.

1.L’intuition des nombres entiers relatifs

Les nombres entiers relatifs \(\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\) forment un ensemble intuitif \(\mathbb Z\), qui est une extension de l’ensemble \(\mathbb N\) des nombres entiers naturels (voir Qu’est-ce qu’un nombre entier naturel ? Définir ou axiomatiser). On y a ajouté à ces derniers des opposés pour l’addition, c’est-à-dire, pour tout entier naturel \(n\), un entier relatif \(-n\) tel que \(n+(-n)=0\). Tout entier relatif \(n\) possède donc un opposé \(-n\) pour l’addition, et ceci permet alors de définir une nouvelle opération, la soustraction de deux entiers quelconques \(a\) et \(b\), en posant \(a-b=a+(-b)\).

Dans l’ensemble \(\mathbb Z\) on peut prolonger les opérations usuelles \(+\) et \(\times\) entre les entiers naturels, ainsi que la relation \(<\) d’ordre strict qui permet de les comparer. L’intérêt élémentaire principal de l’ensemble \(\mathbb Z\) est que les relations entre l’addition et la multiplication s’y prolongent. Par exemple, la distributivité de la multiplication sur l’additon y est encore valable : si \(m,n,p\) sont trois entiers relatifs, on a toujours l’égalité \(m\times (n+p)=m\times n+m\times p\). Grâce à l’existence de la soustraction, on peut alors simplifier des démonstration de théorèmes d’arithmétique, comme celui qui permet de définir la division euclidienne. C’est aussi un cadre plus naturel d’expression pour certains de ces théorèmes, comme le théorème de Bézout : si \(m\) et \(n\) sont deux entiers relatifs de plus grand commun diviseur \(d\), il existe alors deux entiers relatifs \(u,v\) tels que \(au+bv=d\).

2.Plutôt construire les entiers relatifs

En mathématiques, on aime bien faire l’économie des principes premiers (axiomes, postulats), et plutôt que d’admettre « l’existence » d’un tel ensemble \(\mathbb Z\) avec ces propriétés, on préfère alternativement le construire. Une telle « construction » est un premier exemple de la définition d’un système de nombres à partir d’un système plus simple, ici l’ensemble \(\mathbb N\) des entiers naturels. Grâce à la théorie naïve des ensembles (voir Qu’est-ce qu’un ensemble ? Fonder la mathématique dans l’intuition), on peut ainsi faire reposer la description de l’ensemble \(\mathbb Z\) sur les seuls axiomes décrivant l’ensemble \(\mathbb N\).

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Pour aller plus loin

Mathesis 1.3 : Arithmétique Elémentaire (Des nombres entiers naturels aux nombres rationnels)