Le paradoxe de Russell et la théorie des classes
Le paradoxe ou antinomie de Russell est un paradoxe très simple de la théorie naïve des ensembles, qui surgit lorsqu'on cherche à définir un "ensemble de tous les ensembles". Sa
Les transformations linéaires du plan : déterminant, bases et inversion
Les transformations linéaires du plan euclidien sont les applications linéaires inversibles, c'est-à-dire de déterminant non nul. Elles permettent de passer d'une base du plan à une autre, et les transformations
Les bases du plan euclidien : vecteurs et coordonnées
La représentation du plan euclidien par le produit cartésien \(\mathbb R^2\) permet de décomposer tout vecteur du plan en deux coordonnées, son abscisse et son ordonnée. Cette décomposition est liée
L’espace euclidien : points, vecteurs et produit scalaire
La méthode analytique de Descartes, qui permet de représenter le plan euclidien comme le produit cartésien \(\mathbb R^2\) grâce à la théorie des nombres réels, permet également de représenter l'espace
Les quaternions de Hamilton : un espace-temps algébrique
La multiplication complexe se prolonge naturellement à une multiplication en quatre dimensions, qui définit sur l'espace \(\mathbb R^4\) la structure de l'algèbre \(\mathbb H\) des quaternions de Hamilton. Cette multiplication
Les entiers de Gauss : une arithmétique imaginaire
Les entiers de Gauss sont les nombres complexes à coordonnées entières. Grâce à leur norme, sorte de mesure entière de leur taille, on peut décrire certaines de leurs propriétés arithmétiques.
Une définition analytique du nombre π
https://www.youtube.com/watch?v=IeSVgpUKJQM Introduction Lorsque nous avons introduit l'exponentielle circulaire, les fonctions trigonométriques cosinus et sinus ont été définies comme sa partie réelle et sa partie imaginaire. Nous en avons alors tiré les expressions
La mesure des angles de vecteurs : où l’analyse rencontre l’algèbre
Introduction Dans Angles de vecteurs : intuition géométrique et définition algébrique, nous avons défini et décrit le groupe des angles de vecteurs du plan euclidien de manière algébrique, en utilisant une relation
Angles de vecteurs : intuition géométrique et définition algébrique
Les angles de vecteurs sont les angles orientés habituels de la géométrie euclidienne plane. Grâce aux ressources de la théorie naïve des ensembles, on les définit de manière purement algébrique
Rotations vectorielles du plan : l’approche « analytique »
Les rotations vectorielles du plan (c'est-à-dire centrées en l'origine), se dérivent de manière analytique (par coordonnées) comme applications linéaires de déterminant \(1\), ce qui permet de les caractériser intégralement et
L’exponentielle circulaire et les fonctions trigonométriques
A partir de la fonction exponentielle complexe, on peut définir une fonction "exponentielle circulaire", qui "enroule" la droite réelle sur le cercle trigonométrique, et permet de définir rigoureusement les fonctions
Fonctions analytiques et exponentielle complexe
Certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être décrites "autour de chaque point" comme la somme d'une série dite "entière". Il s'agit des fonctions analytiques, réelles ou complexes, dont l'exemple typique est
Une infinité de nombres premiers
Les nombres entiers naturels premiers sont sont ceux qui n'ont pas d'autres diviseurs que 1 et eux-mêmes. Ils existent en nombre infini par le théorème d'Euclide, qui n'est pas
Dériver une bijection inverse & l’exemple de la fonction exponentielle
https://youtu.be/VeG5ThInnjM Les relations entre les propriétés de monotonie, continuité et dérivation d'une fonction d'une variable réelle, permettent de dériver formellement la bijection inverse d'une fonction injective et dérivable. L'exemple le
Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? Des quotients de nombres dans un quotient d’ensemble
https://www.youtube.com/watch?v=pHjrx2G9AoU&feature=youtu.be L'intuition des nombres rationnels Les nombres rationnels, c'est-à-dire "fractionnaires", comme \(-\frac 1 2, \frac{27}{4}, \frac{312}{-6783},\ldots\), forment un ensemble intuitif qu'on note \(\mathbb Q\). C'est une extension de l'ensemble \(\mathbb Z\)
Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ? Une représentation astucieuse
https://www.youtube.com/watch?v=ASbOgQe0iP0&feature=youtu.be Les nombres entiers relatifs sont une extension des nombres entiers naturels où l'existence d'une soustraction fournit un cadre mieux approprié à certaines questions d'arithmétique. On peut les décrire de
Le cercle trigonométrique : où Pythagore rencontre Thalès
Le cercle trigonométrique permet de définir le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle orienté, et d'en donner une interprétation à travers les théorèmes de Thalès et de
Le produit scalaire naturel : une combinaison numérique de vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs dans un espace réel est un nombre réel qui tient compte de la direction, du sens et de l'amplitude des deux vecteurs. 1.Le produit
Polynômes à une indéterminée : la représentation combinatoire des équations
Les polynômes à une indéterminée sont des représentations mathématiques des expressions intervenant dans les équations polynomiales. Ils permettent l'application de méthodes algébriques à la résolution de ces équations Les équations
Qu’est-ce qu’un nombre complexe ? Une approche géométrique simple
https://www.youtube.com/watch?v=MIltmE0be6U Il existe diverses manières de définir les nombres complexes. La plus directe consiste à les regarder comme les points ou les vecteurs du plan. L'addition et la multiplication se
Le fini et l’infini mathématiques : comparer et dénombrer
Un ensemble fini, c'est un ensemble qu'on peut dénombrer à l'aide des entiers naturels \(1,\ldots,n\) pour un certain entier naturel \(n\). Mais qu'est-ce que dénombrer ? Et qu'est-ce qu'un ensemble
Tracer un cercle sur le plan : équations et paramètres
La définition d'un cercle est simple : il s'agit d'un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné. Cette distance est appelée le rayon et ce point
Le Plan euclidien : géométrie antique et approche analytique
A partir de l'approche analytique de Descartes, qui consiste à introduire des coordonnées pour représenter les points du plan, et de la construction de Cauchy des nombres réels, on peut
Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ? Définition et interprétation géométrique
https://www.youtube.com/watch?v=p3o-qNCQhlQ&t=235s La dérivée d'une fonction, c'est sa variation instantanée, autrement dit la pente de la tangente à la représentation graphique de la fonction en ce point 1. Idée générale : une
Qu’est-ce qu’un ensemble ? Fonder la mathématique dans l’intuition
https://www.youtube.com/watch?v=uORGF5PzCw0 La théorie naïve des ensembles ou "science des patates" est le fondement naturel (et compréhensible !) de la science mathématique "Je sais ce qu'est le temps. Si tu me le
Qu’est-ce qu’un nombre entier naturel ? Définir ou axiomatiser
https://www.youtube.com/watch?v=3LqQzJ8LF80 La science mathématique ne cherche pas à définir la notion de nombre entier naturel, mais à comprendre l'ensemble des entiers naturels "Dieu a fait le nombre entier, le reste est
Qu’est-ce qu’un nombre réel ? La formidable construction de Cauchy
https://www.youtube.com/watch?v=3FN0pBnmXEQ Les nombres réels sont toutes les "grandeurs" qu'on peut ordonner, et on peut les "construire" de diverses manières grâce à la théorie des ensembles "Les nombres gouvernent le monde." Pythagore Les