Introduction

Lorsque nous avons introduit l’exponentielle circulaire, les fonctions trigonométriques cosinus et sinus ont été définies comme sa partie réelle et sa partie imaginaire. Nous en avons alors tiré les expressions analytiques : \(\cos x=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\) et \(\sin x=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\). Nous avons également retrouvé les propriétés essentielles \(\cos^2 t+\sin^2=1\), ainsi que \(\cos’t=-\sin t\) et \(\sin’t=\cos t\). A partir de ces seules propriétés, il est possible de définir le nombre \(\pi\), et d’étudier son rapport à l’exponentielle circulaire.

La fonction cosinus s’annule sur \(\mathbb R_+\)

Montrons tout d’abord que la fonction cosinus s’annule sur \(\mathbb R_+\). Par définition, on a \(\cos 0=1\) et si le cosinus ne s’annulait pas sur \(\mathbb R_+\), par continuité on aurait \(\cos x >0\) pour tout \(x\in\mathbb R_+\). Dans ce cas, la fonction sinus, de dérivée \(\cos x\), serait (strictement) croissante: choisissant un nombre réel \(a>0\), pour tout réel \(x>a\) on aurait \(\sin x>\sin a >0\), puisque \(\sin 0=0\). Considérons alors la fonction \(x\in I=]a,+\infty[\mapsto \cos x + x \sin a\), dont la dérivée est \(-\sin x+\sin a=\sin a-\sin x<0\). Sur l’intervalle \(I\), cette fonction serait ainsi strictement décroissante. Or, puisque la fonction cosinus est bornée et que \(\sin a>0\), cette fonction a pour limite \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Ces deux propriétés sont mutuellement contradictoires, il faut donc en conclure que l’hypothèse est fausse : le cosinus s’annule sur \(\mathbb R_+\).

Le plus petit zéro positif du cosinus

Reformulons la conclusion de la démonstration précédente : comme \(\cos 0=1\), il existe au moins un nombre réel \(x>0\) tel que \(\cos x=0\). Par continuité de la fonction cosinus, on peut en dire un peu plus : comme \(\cos 0=1\neq 0\), le cosinus ne s’annule pas « au voisinage de \(0\) », c’est-à-dire que sur un intervalle ouvert \(I\) contenant \(0\), le cosinus ne s’annule pas. Autrement dit, la borne inférieure de l’ensemble \(X=\{x\in\mathbb R_+ : \cos x=0\}\) est un nombre strictement positif : notons-le \(a\). Par définition, on décrète alors que le nombre \(\pi\) est le nombre \(2\times a\), c’est-à-dire que \(a=\pi/2\). Or, les propriétés de la borne inférieure et la continuité de la fonction cosinus font que \(\cos a=0\) (par exemple, il existe une suite décroissante \((x_n)\) de nombres réels dans \(X\) qui tend vers \(a\)). En somme, le nombre \(a=\pi/2\) est le plus petit zéro positif de la fonction cosinus. Une définition analytico-géométrique du nombre \(\pi\) est donc qu’il est le double du plus petit zéro positif de la fonction \(\cos x\).

Définition de π à partir de la fonction cosinus
Le plus petit zéro positif de la fonction cosinus est par définition le nombre \(\pi/2\). Le nombre \(\pi\) est aussi le plus petit zéro strictement positif de la fonction sinus.

Le nombre \(\pi\), le sinus et l’exponentielle circulaire

Si nous avons utilisé les fonctions circulaires pour définir le nombre \(\pi\), celui-ci entretient des relations tout-à-fait particulières avec ces fonctions. Puisque le cosinus, dérivée du sinus, est \(>0\) sur l’intervalle \([0,\pi/2[\), la fonction sinus est croissante sur \([0,\pi/2]\). Et puisque \(\cos^2 \pi/2+\sin^2 \pi/2=1\) et \(\cos \pi/2=0\) par définition de \(\pi\), on en déduit que \(\sin^2 \pi/2=1\), donc que \(\sin \pi/2=1\). Il s’ensuit immédiatement que \(e^{i\pi/2}=\exp(i.\pi/2)=\cos \pi/2+i\sin \pi/2=i\). A cause des propriétés de l’exponentielle, on peut alors en déduire que \(\exp(i\pi)=\exp(i\times 2\times \pi/2)=\exp(i\pi/2)^2=i^2=-1\). On obtient ainsi la fameuse formule d’Euler, soit \[e^{i\pi} +1=0\] (en adoptant la notation avec un exposant pour l’exponentielle circulaire). On en déduit que \(\cos\pi=-1\) et \(\sin\pi=0\) (ce qu’on peut aussi tirer des formules pour \(\sin(a+b)\) et \(\cos(a+b)\)).

De même, on peut démontrer que \(\exp(2i\pi)=1\), et donc que pour tout nombre complexe \(z\), on a \(\exp(z+2i\pi)=\exp(z)\). En fait, le nombre \(2\pi\) est le plus petit nombre réel \(t>0\) tel que \(\exp(it)=0\), c’est-à-dire la période de cette fonction. Pour revenir aux fonctions trigonométriques réelles, on peut déduire de l’étude du cosinus et du sinus sur l’intervalle \([0,\pi/2]\) leur comportement sur tout l’intervalle \([0,2\pi]\), et donc sur tout l’ensemble \(\mathbb R\), par leurs propriétés élémentaires et leur périodicité. Cette étude conduirait à établir précisément que l’exponentielle circulaire définit une bijection de l’intervalle \([0,2\pi[\) sur le cercle trigonométrique \(S^1\), ensemble des nombres complexes de module \(1\).

Bijection de l'exponentielle circulaire sur le cercle trigonométrique
L’exponentielle circulaire réalise une bijection entre l’intervalle réel \([0,2\pi[\) et le cercle trigonométrique. Le nombre \(\pi/2\) est envoyé sur \(i\), le nombre \(\pi\) sur \(-1\) et le nombre \(2\pi\) sur \(0\)

Conclusion : définir le nombre \(\pi\)

Il pourrait sembler inutilement compliqué de devoir utiliser la définition analytique rigoureuse des fonctions circulaires pour définir le nombre \(\pi\). Il existe d’autres façons de définir ce nombre, ou au moins d’en donner des expressions qui puissent servir de définition, mais elles semblent toutes, d’une certaine façon, impliquer l’analyse, sans doute à cause du caractère transcendant de \(\pi\) (il n’est solution d’aucune équation algébrique). Par exemple, on peut définir le nombre \(\pi\) à partir de la formule \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}\), somme d’une série de Riemann. Mais il faudrait alors qu’une telle définition permette de caractériser \(\pi\) comme le nombre défini ici…

On pourrait aussi envisager définir \(\pi\) comme le plus petit zéro \(>0\) de la fonction sinus, à partir d’une approche similaire à celle qui est présentée ici. Toutefois, puisque \(\sin 0=0\), il n’est guère possible d’étudier les zéros de \(\sin x\) à partir des propriétés élémentaires des fonctions circulaires. Il faudrait connaître par exemple les propriétés de sa dérivée \(\cos x\) pour étudier les variations du sinus, et donc connaître les zéros de \(\cos x\). C’est précisément l’étude faite ici, ce qui suggère que la définition présente est sans doute, en un certain sens, « la meilleure ».


Pour aller plus loin

Commencer en mathématiques : Mathesis I.1 – Entrer dans l’Univers Mathématique