Les relations entre les propriétés de monotonie, continuité et dérivation d’une fonction d’une variable réelle, permettent de dériver formellement la bijection inverse d’une fonction injective et dérivable. L’exemple le plus représentatif est peut-être celui de la fonction exponentielle, réciproque du logarithme népérien.

1.Monotonie, continuité, dérivation

Dans la théorie élémentaire des fonctions d’une variable réelle, on étudie les relations subtiles entre les fonctions monotones, continues et dérivables, en lien étroit avec la « topologie » de la droite réelle, c’est-à-dire les intervalles où ces fonctions sont définies. Rappelons qu’un intervalle de l’ensemble \(\mathbb R\) est un sous-ensemble \(I\subseteq \mathbb R\) tel que pour tous \(a,b\in I\), le segment \([a,b]=\{x\in \mathbb R : a\leq x\leq b\}\) est tout entier inclus dans \(I\).

Par exemple, on démontre que si \(f:I\to\mathbb R\) est une fonction continue définie sur un intervalle \(I\), alors l’image \(f(I)\) de la fonction \(f\) est aussi un intervalle. On sait aussi qu’une telle application est injective si et seulement si elle est strictement monotone (c-à-d strictement croissante ou strictement décroissante) ! Et dans ce cas, lorsque l’intervalle \(I\) est ouvert, l’image \(f(I)\) est aussi un intervalle ouvert. Or, on étude les variations d’une telle fonction, lorsque cela est possible, grâce à sa dérivée (voir Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ? Définition et interprétation géométrique): une fonction dérivable \(f:I\to\mathbb R\) définie sur un intervalle ouvert \(I\) est monotone sur \(I\) si et seulement si \(f'(t)\) garde un signe constant sur \(I\), positif si \(f\) est croissante, négatif si \(f\) est décroissante.

La fonction \(\cos x\) est strictement décroissante sur l’intervalle ouvert \(I=]\pi/2,\pi[\) et l’image de cet intervalle par le cosinus est l’intervalle ouvert \(]-1,0[\)

A partir de la définition de la dérivée d’une fonction, on peut également dériver une fonction composée (voir par exemple Wikipedia : dérivation des fonctions composées). Si \(f:I\to \mathbb R\) et \(g:J\to\mathbb R\) sont deux fonctions définies sur des intervalles ouverts \(I\) et \(J\), et dérivables, et si \(f(I)\subseteq J\), alors la fonction \(g\circ f\) est définie et on a \((g\circ f)'(x)=g'(f(x)).f'(x)\) pour tout \(x\in I\).

2.Dériver la bijection inverse

On peut aisément tirer de ces propriétés l’expression de la dérivée d’une bijection inverse dans certains cas. En effet, si \(f:I\to \mathbb R\) est une fonction dérivable et injective, définie sur un intervalle ouvert \(I\), \(f\) est continue donc son image \(f(I)\) est un intervalle ouvert \(J\). En la considérant comme application de \(I\) dans \(J\), notons \(g:J\to I\) sa bijection réciproque. Par définition, on a \(f\circ g(x)=x\) pour tout \(x\in J\), c’est la fonction « identique » \(x\in J\mapsto x\in J\). Si \(g\) est dérivable, la dérivée de \(f\circ g\) est donc la dérivée de la fonction identique, qui vaut \(1\), et par la formule de dérivation des fonctions composées on peut donc écrire \[1=(f\circ g)'(x)=f'(g(x)).g'(x)\] pour tout \(x\in J\).

En fait, dans cette situation et avec les mêmes notations on peut montrer que la fonction \(g:J\to I\) est alors dérivable en tout point \(x\in J\) pour lequel \(f'(g(x))\neq 0\) et en ce point, la formule précédente – c’est-à-dire \(1=(f\circ g)'(x)=f'(g(x)).g'(x)\) – nous donne la dérivée \[g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}.\] En particulier, si \(f:I\to\mathbb R\) est dérivable et strictement monotone, et si sa dérivée \(f’\) ne s’annule jamais, alors sa bijection réciproque \(g:J\to I\) est dérivable en tout point \(x\in J\) et la formule précédente nous donne une expression générale de sa dérivée en tout point.

3.Exemple : dériver la fonction exponentielle

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Pour aller plus loin