Monotonie, continuité, dérivation

Dans la théorie élémentaire des fonctions d’une variable réelle, on étudie les relations subtiles entre les fonctions monotones, continues et dérivables, en lien étroit avec la « topologie » de la droite réelle, c’est-à-dire les intervalles où ces fonctions sont définies. Rappelons qu’un intervalle de l’ensemble \(\mathbb R\) est un sous-ensemble \(I\subseteq \mathbb R\) tel que pour tous \(a,b\in I\), le segment \([a,b]=\{x\in \mathbb R : a\leq x\leq b\}\) est tout entier inclus dans \(I\).

Par exemple, on démontre que si \(f:I\to\mathbb R\) est une fonction continue définie sur un intervalle \(I\), alors l’image \(f(I)\) de la fonction \(f\) est aussi un intervalle. On sait aussi qu’une telle application est injective si et seulement si elle est strictement monotone (c-à-d strictement croissante ou strictement décroissante) ! Et dans ce cas, lorsque l’intervalle \(I\) est ouvert, l’image \(f(I)\) est aussi un intervalle ouvert. Or, on étude les variations d’une telle fonction, lorsque cela est possible, grâce à sa dérivée (voir Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ? Définition et interprétation géométrique): une fonction dérivable \(f:I\to\mathbb R\) définie sur un intervalle ouvert \(I\) est strictement montone sur \(I\) si et seulement si \(f'(t)\) ne s’annule jamais et garde un signe constant sur \(I\), positif si \(f\) est strictement croissante, négatif si \(f\) est strictement décroissante.

A partir de la définition de la dérivée d’une fonction, on peut également dériver une fonction composée (voir par exemple Wikipedia : dérivation des fonctions composées). Si \(f:I\to \mathbb R\) et \(g:J\to\mathbb R\) sont deux fonctions définies sur des intervalles ouverts \(I\) et \(J\), et dérivables, et si \(f(I)\subseteq J\), alors la fonction \(g\circ f\) est définie et on a \((g\circ f)'(x)=g'(f(x)).f'(x)\) pour tout \(x\in I\).

Dériver la bijection inverse

On peut aisément tirer de ces propriétés l’expression de la dérivée d’une bijection inverse dans certains cas. En effet, si \(f:I\to \mathbb R\) est une fonction dérivable et définie sur un intervalle ouvert \(I\), \(f\) est continue donc son image \(f(I)\) est un intervalle ouvert \(J\). Supposons que \(f\) est injective et notons \(g:J\to I\) sa bijection réciproque quand on la considère comme application de \(I\) dans \(J\)). Par définition, on a \(g\circ f(x)=x\) pour tout \(x\in I\), c’est la fonction « identique » \(x\in I\mapsto x\in I\). Si \(g\) est dérivable, la dérivée de \(f\circ g\) est donc la dérivée de la fonction identique, qui vaut \(1\), et par la formule de dérivation des fonctions composées on peut donc écrire \(1=(f\circ g)'(x)=f'(g(x)).g'(x)\) pour tout \(x\in I\).

En fait, on peut démontrer que si \(f:I\to \mathbb R\) est dérivable et strictement monotone, alors – avec les mêmes notations – \(g:J\to I\) est dérivable en tout point \(x\in J\) où \(f'(g(x))\neq 0\) et en ce point, la formule précédente – c’est-à-dire \(1=(f\circ g)'(x)=f'(g(x)).g'(x)\) – nous donne la dérivée \[g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}.\] Mais nous avons dit qu’une fonction continue et injective est strictement monotone, donc pour une fonction dérivable et injective \(f:I\to \mathbb R\), sa bijection réciproque \(g:J\to I\) est dérivable en tout point \(x\in J\) où \(f'(g(x))\neq 0\). En particulier, si \(f’\) ne s’annule jamais, la fonction \(g\) est elle-même dérivable et nous connaissons une expression de sa dérivée en tout point.

Exemple : dériver la fonction exponentielle

Comme application de la formule de dérivation d’une bijection inverse, nous allons montrer que la dérivée de la fonction exponentielle est égale à la fonction elle-même, c’est-à-dire que pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \[\exp'(x)=\exp(x).\]

Pour cela, rappelons la définition usuelle de la fonction exponentielle. Par les propriétés de l’intégrale de Riemann, on définit d’abord la fonction Logarithme (népérien) \(\ln:\mathbb R_+^*\to \mathbb R\), par l’expression \[\ln(x)=\int_1^x \dfrac 1 t \ dt\] pour tout nombre réel \(x>0\). Autrement dit, le Logarithme est la primitive de la fonction \(x\in \mathbb R_+^*\mapsto 1/x\) qui s’annule en \(x=1\). On démontre alors que cette application est strictement croissante et que \(\lim\limits_{x\to 0} \ln(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty\), si bien que comme \(ln\) est par définition dérivable, de dérivée \(1/x\), il s’agit d’une bijection de \(\mathbb R_+^*\) sur \(\mathbb R\). Par définition, la fonction exponentielle est alors la bijection réciproque du Logarithme, soit l’unique application \(\exp:\mathbb R\to \mathbb R_+^*\) telle que pour tous \(t\in \mathbb R_+^*\) et \(x\in \mathbb R\), on ait \(\exp(\ln(t))=t\) et \(\ln(\exp(x))=x\).

Appliquons alors le théorème énoncé et la formule écrite précédemment avec \(f=\ln\), \(I=\mathbb R_+^*\), \(g=\exp\) et \(J=\mathbb R\). Comme \(\ln\) est strictement croissante et dérivable, et comme \(ln'(t)=1/t>0\) pour tout \(t>0\), sa réciproque \(\exp\) est dérivable, et sa dérivée en tout point \(x\in \mathbb R\) est donnée par \[\exp'(x)=\dfrac 1 {\ln'(\exp(x))}=\dfrac{1}{1/\exp(x)}=\exp(x),\] ce que nous voulions démontrer.

Représentation du logarithme népérien et de sa bijection inverse, la fonction exponentielle

Une partie du graphe de la fonction logarithme \(\ln\) est représentée en bleu, et en rouge une partie du graphe de sa bijection inverse, la fonction exponentielle. Les deux fonctions sont strictement croissantes comme le prédit la théorie, et leurs graphes sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y=x\), puisqu’elle sont réciproques. La dérivée de la fonction \(\exp\) est égale à la fonction en tout point, donc la pente de la tangente au point \((x,\exp(x))\) est la valeur de la fonction, soit \(\exp(x)\), ce qui donne au graphe de cette fonction son allure caractéristique. En particulier, la pente en \(x=1\) est le nombre \(e\), base de l’exponentielle.