Certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être décrites « autour de chaque point » comme la somme d’une série dite « entière ». Il s’agit des fonctions analytiques, réelles ou complexes, dont l’exemple typique est celui de la fonction exponentielle, qu’on peut étendre à tout le plan complexe.

1. Fonctions analytiques réelles et complexes

1.1. Développer la fonction exponentielle

Nous avons expliqué dans « Dériver une bijection inverse & l’exemple de la fonction exponentielle » comment démontrer que la fonction exponentielle \(\exp:\mathbb R\to \mathbb R_+^*\), définie comme bijection réciproque du logarithme \(\ln:\mathbb R_+^*\to \mathbb R\), est sa propre dérivée. Cela signifie en particulier que la fonction \(\exp\) est indéfiniment dérivable. Pour de telles fonctions, dites « de classe \(\mathcal C^\infty\) » on peut écrire la valeur de la fonction « autour de chaque point » comme ce qu’on appelle un développement limité, c’est-à-dire la somme d’un polynôme de degré arbitraire, dont les coefficients sont donnés par les dérivées successives de la fonction, et d’un « reste ».

Dans le cas de la fonction exponentielle et de nombreuses autres fonctions de l’analyse réelle, on a une propriété plus forte : il est possible, « autour d’un point » quelconque \(x_0\) du domaine de définition (ici \(\mathbb R\) pour \(\exp\)), de donner une expression de la fonction comme une série dont les coefficients sont donnés par les dérivées successives de la fonction. Par exemple, au point \(x_0=0\), on peut décrire la fonction exponentielle pour tout nombre réel \(x\) comme \[\exp(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!},\] la propriété \(\exp'(x)=\exp(x)\) permettant d’identifier les coefficients de cette série. On peut faire la même chose par exemple avec le logarithme \(\ln:\mathbb R_+^*\to \mathbb R\), en \(x_0=1\) cette fois-ci, pour obtenir pour tout réel \(x\in \mathbb R_+^*=]0,+\infty[\), \[\ln(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}.\]

1.2. Fonctions analytiques

Les fonctions pour lesquelles il est possible de donner un tel développement sont dites analytiques. Plus formellement, une fonction \(f:I\to \mathbb C\), définie sur un intervalle ouvert \(I\) de \(\mathbb R\), est dite analytique si en tout point \(x_0\) de \(I\), il existe une suite \((a_n)\) de nombres complexes et un intervalle ouvert \(J\subseteq I\) tels que \(x_0\in J\) et pour tout \(x\in J\), la série complexe \(\sum a_n (x-x_0)^n\) converge vers \(f(x)\). On dit que \(f\) est « développable en série entière en (ou autour de) \(x_0\) ». Ainsi, une fonction analytique est une fonction dont on peut donner autour de chaque point une description uniforme comme somme d’une série particulière de fonctions polynomiales.

Si autour de chaque point \(x_0\in I\), les coefficients de la suite \((a_n)\) peuvent être choisis réels, alors par définition la fonction \(f\) prend ses valeurs dans \(\mathbb R\), on dit qu’on a une fonction analytique réelle \(f:I\to \mathbb R\). D’un autre côté, en général pour tout \(x_0\in I\) on peut toujours choisir un intervalle \(J\) de la forme \(]x_0-\alpha,x_0+\alpha[=\{x\in \mathbb R : x_0-\alpha < x <x_0+\alpha\}\) pour un réel \(\alpha >0\). Une étude détaillée montrerait alors que pour tout nombre complexe \(z\) tel que \(|z-x_0|<\alpha\), la série \(\sum a_n (z-x_0)^n\) converge et on peut alors prolonger la fonction \(f\) en \(z\) en posant \(f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-x_0)^n\). En fait, la notion de fonction analytique est également valable pour les fonctions \(f:U\to \mathbb C\), où \(U\) est cette fois-ci une partie ouverte de \(\mathbb C\), c’est-à-dire telle que pour tout \(z\in U\), il existe un réel \(\alpha >0\) tel que la boule ouverte \(B_\alpha(z)=\{w\in \mathbb C : |z-w|<\alpha\}\), qui contient \(z\), est incluse dans \(U\). Une telle fonction est dite analytique complexe, si pour tout \(z\in U\), il existe une boule ouverte \(B_\alpha(z)\subseteq U\) et une suite \((a_n)\) de nombres complexes, telles que pour tout \(w\in B_\alpha(z)\), on ait \(f(w)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (w-z)^n\).

1.3. Dériver une fonction analytique par sa série entière

Une fonction analytique réelle \(f:I\to \mathbb R\) est toujours indéfiniment dérivable. De plus, en tout point \(x_0\in I\), si la fonction \(f\) est décrite sur un intervalle ouvert \(J\subseteq I\) par \(f(x\in J)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (x-x_0)^n\), sa dérivée est décrite également par une série, obtenue à partir de celle-ci comme on dérive un polynôme « terme-à-terme ». Autrement dit, pour tout \(x\in J\) on a \(f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} na_n (x-x_0)^{n-1}=\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)a_{n+1} (x-x_0)^n\). Ainsi, la dérivée d’une fonction analytique réelle est encore une fonction analytique réelle. Le cas d’une fonction analytique \(f:I\to \mathbb C\) est en fait similaire : la dérivée d’une telle fonction est bien définie comme celle d’une fonction à valeurs dans \(\mathbb R^2\), et le même résultat est valable.

Dans le cas complexe, pour une fonction \(f:U\to \mathbb C\) définie sur une partie ouverte \(U\) de \(\mathbb C\), on peut définir la dérivabilité complexe de \(f\) en un point \(z\in U\), de manière analogue à la définition réelle. On dit que \(f\) est dérivable en \(z\) si le rapport \(\dfrac{f(w)-f(z)}{w-z}\) possède une limite sur \(U\), lorsque \(w\) tend vers \(z\), et cette limite est alors la dérivée \(f'(z)\) de \(f\) en \(z\). On dit que \(f\) est holomorphe si elle est dérivable en tout point de \(U\). C’est une caractéristique remarquable de l’analyse complexe qu’une telle fonction est automatiquement analytique, et donc en particulier indéfiniment dérivable. En fait, on peut démontrer qu’une telle fonction \(f:U\to \mathbb C\) est holomorphe si et seulement si elle est analytique ! Dans ce cas, sur toute boule ouverte \(B_\alpha(z)\subseteq U\) où \(f\) est décrite par \(f(w)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (w-z)^n\), la dérivée \(f’\) de \(f\) est également décrite par \[f'(w)=\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)a_{n+1} (w-z)^n.\]

2. La fonction exponentielle complexe

2.1. Prolongement de \(\exp:\mathbb R\to \mathbb R\) au plan complexe

Pour aller plus loin