Les transformations linéaires du plan euclidien sont les applications linéaires inversibles, c’est-à-dire de déterminant non nul. Elles permettent de passer d’une base du plan à une autre, et les transformations orthogonales, c’est-à-dire les isométries vectorielles, échangent les bases orthonormées.

1. Les transformations linéaires du plan

1.1. Les applications linéaires du plan dans lui-même

En traitant des rotations vectorielles du plan, nous avons introduit les applications linéaires de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R^2\). Il s’agit des fonctions \(f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\), qui « préservent l’addition et la multiplication par une constante sur chaque coordonnée », c’est-à-dire pour lesquelles, si \((x,y),(u,v)\in\mathbb R^2\) sont deux vecteurs du plan et \(a,b\in\mathbb R\) deux nombres réels, on a \[f(a.(x,y)+b.(u,v))=a.f(x,y)+b.f(u,v).\] Parmi ces applications, on trouve toutes les homothéties, rotations et symétries vectorielles. Une telle application est toujours de la forme \(f(x,y)=(ax+by,cx+dy)\), pour des nombres réels \(a,b,c,d\) uniquement déterminés.

1.2. Description analytique des applications linéaires du plan

Démontrons-le : si on note \(f(1,0)=(a,c)\) et \(f(0,1)=(b,d)\), pour un vecteur quelconque \((x,y)\in\mathbb R^2\) on a, par linéarité, \(f(x,y)=f(x.(1,0)+y.(0,1))=x.f(1,0)+y.f(0,1)\) \(=(ax,cx)+(by,dy)=(ax+by,cx+dy)\). Ainsi, les valeurs prises par une application linéaire \(f\) du plan sont entièrement déterminées par les valeurs de \(f\) sur les vecteurs \(\vec i=(1,0)\) et \(\vec j=(0,1)\) de la base canonique. De plus, cette représentation est unique, au sens où les coefficients \(a,b,c,d\) sont uniquement déterminés par \(f\) elle-même. En effet, si on suppose que \(a’,b’,c’,d’\in\mathbb R\) et que \(f\) est décrite par \(f(x,y)=(a’x+b’y,c’x+d’y)\) pour tout \((x,y)\in\mathbb R^2\), en particulier on a \(f(1,0)=(a’,c’)\) et \(f(0,1)=(b’,d’)\), d’où \(a=a’,b=b’,c=c’\) et \(d=d’\). Or, la possibilité de cette description est essentiellement liée à la notion de base du plan euclidien, et on peut interpréter, comme nous le verrons, le « passage » d’une base à une autre en termes de transformations linéaires, c’est-à-dire d’applications linéaires bijectives.

1.3. Un déterminant non nul caractérise les applications  linéaires bijectives

Pour préparer cette interprétation, (ré)introduisons la notion de déterminant de l’application linéaire \(f:(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto (ax+by,cx+dy)\), évoquée avec les rotations vectorielles du plan (ibid.) : il s’agit de la quantité \(ad-bc\) isolée dans la caractérisation des bases du plan euclidien. Son importance essentielle réside ici en ce que l’application \(f\) est bijective si et seulement si son déterminant n’est pas nul. Pour montrer ceci, décrivons \(f\) à partir des vecteurs \(\vec u=(a,c)\) et \(\vec v=(b,d)\) : pour \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\), on a \(f(\alpha,\beta)=(a.\alpha+b.\beta,c.\alpha+d.\beta)=\alpha.\vec u+\beta.\vec v\). Alors, si \(ad-bc\neq 0\) et \(\vec w\in\mathbb R^2\),  on a \(ad-cb=ad-bc\neq 0\) également et \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non nuls et non colinéaires. Il existe donc un unique couple de réels \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\) tel que \(\vec w=\alpha.\vec u+\beta.\vec v=f(\alpha,\beta)\), donc \(f\) est bijective. Inversement, si \(f\) est bijective, pour tout \(\vec w\in\mathbb R^2\) il existe un unique couple \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\) tel que \(\vec w=f(\alpha,\beta)=\alpha.\vec u+\beta.\vec v\) : \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, donc \(ad-bc=ad-cb\neq 0\).

2. Changement de base et transformations linéaires

2.1. Les bases du plan correspondent à des bijections linéaires

Reprenons le point de vue des bases du plan. Un couple de vecteurs \((\vec u=(a,c),\vec v=(b,d))\) définit alors implicitement l’application linéaire \(f:(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto (ax+by,cx+dy)\). A partir du paragraphe précédent, on peut maintenant dire que le couple \((\vec u,\vec v)\) est une base du plan si et seulement si l’application associée \(f\) est bijective. Il existe donc une relation essentielle entre les transformations linéaires du plan et les bases du plan, capturée par le déterminant \(ad-bc\) de l’application \(f\). Or, puisque la base canonique \((\vec i,\vec j)\) est celle dans laquelle les coordonnées de \(\vec w=(x,y)\) sont précisément \(x\) et \(y\), ceci signifie que lorsque \((\vec u,\vec v)\) est une base, la bijection linéaire \(f\) décrit en quelque sorte le passage de la base canonique à la base \((\vec u,\vec v)\).

2.2. Les isomorphismes linéaires transforment les coordonnées

Pour donner un sens précis à cette idée, changeons encore de point de vue. Lorsque \((\vec u,\vec v)\) est une base, l’application \(f\) est bijective donc pour tout vecteur \(\vec w=(x,y)\in\mathbb R^2\) il existe un unique couple \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\) tel que \(\vec w=\alpha.\vec u+\beta.\vec v\). De ce point de vue, les nombres \(\alpha\) et \(\beta\) sont en fait les coordonnées du même vecteur \(\vec w\) dans la nouvelle base \((\vec u,\vec v)\). Autrement dit, une application linéaire bijective \(f\) associée à une base \(B=(\vec u,\vec v)\) sert à transformer les coordonnées d’un vecteur dans la base canonique dans les coordonnées de ce même vecteur dans la base \(B\). En fait, par définition les nouvelles coordonnées \((\alpha,\beta)\) du vecteur \(\vec w=(x,y)\) dans la nouvelle base sont précisément données par la bijection réciproque de \(f\), c’est-à-dire \((\alpha,\beta)=f^{-1}(x,y)\).

2.3. Passage d’une base quelconque à une autre

Cette interprétation d’une transformation linéaire \(f\) associée à une base \(B=(\vec u,\vec v)\) comme « passage » de la base canonique à la base \(B\) peut être généralisée à deux bases quelconques. Si \(B’=(\vec{u’},\vec{v’})\) est une autre base, et si on note \(C=(\vec i,\vec j)\) la base canonique, appelons \(f:(x,y)\mapsto (ax+by,cx+dy)\) la transformation associée à \(B\) et \(f’:(x,y)\mapsto (a’x+b’y,c’x+d’y)\) la transformation associée à \(B’\), de sorte que \(\vec{u’}=(a’,c’)\) et \(\vec{v’}=(b’,d’)\). La transformation linéaire permettant de passer de la base \(B\) à la base \(B’\) est alors l’application composée \(f’\circ f^{-1}\) : on « passe » d’abord de \(B\) à \(C\) (dans l’ordre inverse du passage de \(C\) à \(B\)), puis on passe de \(C\) à \(B’\). Pour décrire explicitement cette transformation, décrivons la bijection réciproque \(f^{-1}\) : nous devons résoudre le système \[\left\lbrace\begin{array}{cc} x’ & = & ax + by\\y’ & = & cx + dy\end{array}\right.\] en \(x\) et en \(y\). En notant \(\Delta=ad-bc\) le déterminant de \(f\), on obtient \(f^{-1}(x’,y’)=(\frac{1}{\Delta}(dx’-by’),\frac{1}{\Delta}(ay’-cx’))\). Ainsi la transformation linéaire associée au passage de la base \(B\) à la base \(B’\) est \[f’\circ f^{-1}:(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto \frac{1}{\Delta}(a’dx-a’by+b’ay-b’cx,c’dx-c’dy+d’cy-d’cx).\]

2.4. Transformation linéaire d’une base du plan

Inversement, si à partir de la base \(B=(\vec u,\vec v)\) on se donne une bijection linéaire du plan \(g:(x,y)\mapsto (\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)\), considérons les vecteurs \(\vec{u’}=g(\vec u)=(\alpha a+\beta c,\gamma a+\delta c)\) et \(\vec{v’}=g(\vec v)=(\alpha b+\beta d,\gamma b+\delta d)\). Notons comme avant \(\vec{u’}=(a’,c’)\) et \(\vec{v’}=(b’,d’)\) : on définit alors une application linéaire \[\begin{eqnarray} f’:(x,y) & \mapsto & (a’x+b’y,c’x+d’y)\\ & = & ((\alpha a+\beta c)x+(\gamma a+\delta c)y,(\alpha b+\beta d)x+(\gamma b+\delta d)y)\\ & = & (a(\alpha x+\gamma y)+c(\beta x+\delta y),b(\alpha x+\gamma y)+d(\beta x+\delta y)).\end{eqnarray}\] Autrement dit, si nous définissons une nouvelle application linéaire \(\widetilde g:(x,y)\mapsto (\alpha x+\gamma y,\beta x+\delta y)\), \(\widetilde g\) est une bijection puisque \(\alpha\delta-\gamma\beta=\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0\), et \(f’=f\circ \widetilde g\) est une bijection également, si bien que le couple \((\vec{u’},\vec{v’})\) est une base du plan par le premier paragraphe de la section. Ainsi, une transformation linéaire transforme une base du plan en une autre base du plan.  

3. Transformations orthogonales et bases orthonormées

3.1. Rappel sur les isométries vectorielles et les bases orthonormées

En traitant des rotations vectorielles du plan, nous avons distingué, parmi les transformations du plan euclidien, les isométries vectorielles, qu’on peut aussi appeler transformations orthogonales, qui sont celles qui « préservent » le produit scalaire ou la norme euclidienne. Il s’agit donc des transformations linéaires \(f:(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto (ax+by,cx+dy)\) telles que pour tous \(x,y\in\mathbb R\), on a \((ax+by)^2+(cx+dy)^2=x^2+y^2\), ou encore dont le déterminant \(ad-bc\) vaut \(1\) (rotations vectorielles) ou \(-1\) (symétries vectorielles). En traitant des bases du plan euclidien, nous avons également introduit les bases orthonormées, c’est-à-dire les couples de vecteurs non nuls \((\vec u=(a,b),\vec v=(c,d))\) à la fois orthogonaux (c’est-à-dire tels que \(\vec u.\vec v=ac+bd=0\)) et unitaires (c’est-à-dire de norme \(1\), ou encore tels que \(a^2+b^2=c^2+d^2=1\)). Rappelons qu’une telle base est dite directe si l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) est \(\pi/2\) (cas où \(\vec v=(-b,a)\)), indirecte si cet angle est \(-\pi/2\) (cas où \(v=(b,-a)\)). 

3.2. Les transformations orthogonales échangent les bases orthonormées

Alors que les bases du plan sont liées par les transformations linéaires, les bases orthonormées du plan sont liées par  les transformations orthogonales. En reprenant le vocabulaire des paragraphes précédents, si \(B=(\vec u,\vec v\)) est une base orthonormée et \(f:(x,y)\mapsto (ax+by,cx+dy)\) une transformation orthogonale, alors \(B’=(f(\vec u,f(\vec v))\) est une base orthonormée. De même, si \(B\) et \(B’\) sont deux bases orthonormées, la transformation linéaire \(f\) associée au passage de \(B\) à \(B’\) est une transformation orthogonale. On peut être plus précis : disons que deux bases orthonormées \(B\) et \(B’\) ont la même orientation si elles sont toutes deux directes ou toutes deux indirectes, une orientation différente dans les autres cas. Alors, une rotation vectorielle transforme une base orthonormée en une base orthonormée ayant la même orientation, tandis qu’une symétrie vectorielle transforme une base orthonormée en une base orthonormée ayant une orientation différente. 

La base orthonormée \(B=(\vec u,\vec v)\) est directe, tandis que la base orthonormée \(B’=(\vec u,-\vec v)\) est indirecte. On passe de \(B\) à \(B’\) grâce à une symétrie vectorielle, isométrie de déterminant \(-1\).