Les transformations linéaires du plan euclidien sont les applications linéaires inversibles, c’est-à-dire de déterminant non nul. Elles permettent de passer d’une base du plan à une autre, et les transformations orthogonales, c’est-à-dire les isométries vectorielles, échangent les bases orthonormées.

1. Les transformations linéaires du plan

1.1. Les applications linéaires du plan dans lui-même

En traitant des rotations vectorielles du plan, nous avons introduit les applications linéaires de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R^2\). Il s’agit des fonctions \(f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\), qui « préservent l’addition et la multiplication par une constante sur chaque coordonnée », c’est-à-dire pour lesquelles, si \((x,y),(u,v)\in\mathbb R^2\) sont deux vecteurs du plan et \(a,b\in\mathbb R\) deux nombres réels, on a \[f(a.(x,y)+b.(u,v))=a.f(x,y)+b.f(u,v).\] Parmi ces applications, on trouve toutes les homothéties, rotations et symétries vectorielles. Une telle application est toujours de la forme \(f(x,y)=(ax+by,cx+dy)\), pour des nombres réels \(a,b,c,d\) uniquement déterminés.

1.2. Description analytique des applications linéaires du plan

Démontrons-le : si on note \(f(1,0)=(a,c)\) et \(f(0,1)=(b,d)\), pour un vecteur quelconque \((x,y)\in\mathbb R^2\) on a, par linéarité, \(f(x,y)=f(x.(1,0)+y.(0,1))=x.f(1,0)+y.f(0,1)\) \(=(ax,cx)+(by,dy)=(ax+by,cx+dy)\). Ainsi, les valeurs prises par une application linéaire \(f\) du plan sont entièrement déterminées par les valeurs de \(f\) sur les vecteurs \(\vec i=(1,0)\) et \(\vec j=(0,1)\) de la base canonique. De plus, cette représentation est unique, au sens où les coefficients \(a,b,c,d\) sont uniquement déterminés par \(f\) elle-même. En effet, si on suppose que \(a’,b’,c’,d’\in\mathbb R\) et que \(f\) est décrite par \(f(x,y)=(a’x+b’y,c’x+d’y)\) pour tout \((x,y)\in\mathbb R^2\), en particulier on a \(f(1,0)=(a’,c’)\) et \(f(0,1)=(b’,d’)\), d’où \(a=a’,b=b’,c=c’\) et \(d=d’\). Or, la possibilité de cette description est essentiellement liée à la notion de base du plan euclidien, et on peut interpréter, comme nous le verrons, le « passage » d’une base à une autre en termes de transformations linéaires, c’est-à-dire d’applications linéaires bijectives.

1.3. Un déterminant non nul caractérise les applications  linéaires bijectives

Pour préparer cette interprétation, (ré)introduisons la notion de déterminant de l’application linéaire \(f:(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto (ax+by,cx+dy)\), évoquée avec les rotations vectorielles du plan (ibid.) : il s’agit de la quantité \(ad-bc\) isolée dans la caractérisation des bases du plan euclidien. Son importance essentielle réside ici en ce que l’application \(f\) est bijective si et seulement si son déterminant n’est pas nul. Pour montrer ceci, décrivons \(f\) à partir des vecteurs \(\vec u=(a,c)\) et \(\vec v=(b,d)\) : pour \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\), on a \(f(\alpha,\beta)=(a.\alpha+b.\beta,c.\alpha+d.\beta)=\alpha.\vec u+\beta.\vec v\). Alors, si \(ad-bc\neq 0\) et \(\vec w\in\mathbb R^2\),  on a \(ad-cb=ad-bc\neq 0\) également et \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non nuls et non colinéaires. Il existe donc un unique couple de réels \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\) tel que \(\vec w=\alpha.\vec u+\beta.\vec v=f(\alpha,\beta)\), donc \(f\) est bijective. Inversement, si \(f\) est bijective, pour tout \(\vec w\in\mathbb R^2\) il existe un unique couple \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\) tel que \(\vec w=f(\alpha,\beta)=\alpha.\vec u+\beta.\vec v\) : \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, donc \(ad-bc=ad-cb\neq 0\).

2. Changement de base et transformations linéaires

2.1. Les bases du plan correspondent à des bijections linéaires

Reprenons le point de vue des bases du plan. Un couple de vecteurs \((\vec u=(a,c),\vec v=(b,d))\) définit alors implicitement l’application linéaire \(f:(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto (ax+by,cx+dy)\). A partir du paragraphe précédent, on peut maintenant dire que le couple \((\vec u,\vec v)\) est une base du plan si et seulement si l’application associée \(f\) est bijective. Il existe donc une relation essentielle entre les transformations linéaires du plan et les bases du plan, capturée par le déterminant \(ad-bc\) de l’application \(f\). Or, puisque la base canonique \((\vec i,\vec j)\) est celle dans laquelle les coordonnées de \(\vec w=(x,y)\) sont précisément \(x\) et \(y\), ceci signifie que lorsque \((\vec u,\vec v)\) est une base, la bijection linéaire \(f\) décrit en quelque sorte le passage de la base canonique à la base \((\vec u,\vec v)\).

2.2. Les isomorphismes linéaires transforment les coordonnées

Pour donner un sens précis à cette idée, changeons encore de point de vue. Lorsque \((\vec u,\vec v)\) est une base, l’application \(f\) est bijective donc pour tout vecteur \(\vec w=(x,y)\in\mathbb R^2\) il existe un unique couple \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\) tel que \(\vec w=\alpha.\vec u+\beta.\vec v\). De ce point de vue, les nombres \(\alpha\) et \(\beta\) sont en fait les coordonnées du même vecteur \(\vec w\) dans la nouvelle base \((\vec u,\vec v)\). Autrement dit, une application linéaire bijective \(f\) associée à une base \(B=(\vec u,\vec v)\) sert à transformer les coordonnées d’un vecteur dans la base canonique dans les coordonnées de ce même vecteur dans la base \(B\). En fait, par définition les nouvelles coordonnées \((\alpha,\beta)\) du vecteur \(\vec w=(x,y)\) dans la nouvelle base sont précisément données par la bijection réciproque de \(f\), c’est-à-dire \((\alpha,\beta)=f^{-1}(x,y)\).

2.3. Passage d’une base quelconque à une autre