Les fractions rationnelles à une indéterminée apparaissent à la convergence de la théorie des fonctions rationnelles et de la théorie des polynômes. En généralisant la construction des nombres rationnels à partir des nombres entiers relatifs, on les construit comme éléments du corps de fractions de l’anneau des polynômes à une indéterminée et à coefficient dans un corps. L’arithmétique des polynômes et sa relation à leurs racines y trouve une extension naturelle qui permet une discussion purement algébrique des fonctions rationnelles et de leurs zéros et de leurs pôles.

1.Fractions rationnelles à une indéterminée

1.1.Des polynômes aux fonctions rationnelles

Si $A$ est un anneau commutatif unitaire, rappelons que l’on représente formellement les fonctions polynomiales du type $f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n$ à coefficients $a_i\in A$ par des polynômes. Ainsi, un polynôme à coefficients dans $A$ est une suite finie d’éléments de $A$, de la forme $(a_0,\ldots,a_n)$ – celle qui représente l’expression $f(x)$ précédente – ou une suite $(a_0,\ldots,a_n,\ldots)$ d’éléments de $A$ dont les coefficients sont nuls « à partir d’un certain rang ». Alors que les expressions polynomiales comme celle de $f(x)$ sont des objets linguistiques, les polynômes (comme les fonctions polynomiales) sont de véritables objets mathématiques auxquels on peut appliquer la théorie des anneaux. De même, on rencontre souvent en mathématiques des fonctions dites rationnelles, dont l’expression est donnée par le quotient de deux expressions polynomiales. C’est surtout en analyse et en géométrie algébrique qu’on rencontre ces objets mathématiques, de la forme $f(x)=\dfrac{a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n}{b_0+b_1x+\ldots+a_{m-1}x^{m-1}+a_mx^m}$. Il se pose également la question d’une étude générique et algébrique de ces objets, et donc à nouveau de leur représentation mathématique.

Exemple 1
La fonction qui associe à tout nombre réel $x$ différent de $0$ et de $6$ le nombre réel $\dfrac{5x^4-\pi x^2+3}{x^3+6x}$ est une fonction rationnelle.

1.2.Le corps des fractions d’un anneau intègre

Si donc on représente les fonctions polynomiales par des polynômes, on peut aussi représenter les fonctions rationnelles par ce qu’on appelle des fractions rationnelles, définies par rapport à l’anneau $A[X]$ des polynômes à une indéterminée. Pour simplifier nous supposons ici que $A=K$ est un corps commutatif : l’ensemble $K(X)$ des fractions rationnelles est alors aussi un corps, construit par analogie avec l’ensemble $\mathbb Q$ des nombres rationnels comme corps des fractions de l’anneau intègre $K[X]$ est intègre. La construction est générique : si $A$ est un anneau intègre quelconque (le produit de deux éléments non nuls est non nul), on considère que deux couples $(a,b)$ et $(c,d)$ d’éléments de $A$, avec $b,d\neq 0$, sont équivalents, si $a\times d=b\times c$. La classe d’équivalence de $(a,b)$ est alors l’ensemble des couples $(c,d)$ équivalents à $(a,b)$, qu’on note $[(a,b)]$ ou $a/b$.

Définition 1
Si $A$ est un anneau intègre, une fraction de $A$ est une classe d’équivalence $a/b=[(a,b)]$ de couples $(a,b)$ d’éléments de $A$ tels que $b\neq 0$. On appelle corps des fractions de $A$ l’ensemble noté $Fr(A)$ de toutes les fractions de $A$.

Comme dans l’ensemble $\mathbb Q$, deux fractions $a/b$ et $c/d$ doivent être considérées comme égales précisément lorsque $ad=bc$, d’où la définition ! On vérifie simplement que $Fr(A)$ est bien un corps, c’est-à-dire un anneau intègre dont tout élément non nul est inversible, et que le « zéro » de $Fr(A)$ est la fraction $0/1$, tandis que le « un » est la fraction $1/1$. Et on additionne et multiple les fractions comme on le fait habituellement pour les nombres rationnels : si $a/b,c/d\in Fr(A)$, on pose $a/b+c/d=(ad+bc)/bd$ et $(a/b).(c/d)=ab/cd$, avec à chaque fois une réduction naturelle au même dénominateur.

1.3.Fraction rationnelles à une indéterminée

La situation est donc la suivante : à partir d’un corps $K$ (par exemple, $K=\mathbb Q$ est l’ensemble des nombres rationnels, $K=\mathbb R$ l’ensemble des nombres réels ou $K=\mathbb C$ celui des nombres complexes), l’anneau de polynômes $K[X]$ à une indéterminée et à coefficients dans $K$ est intègre. Il représente les expressions polynomiales à coefficients dans $K$, et son corps de fractions, noté $K(X)$, représente les expressions définissant les fonctions rationnelles, et qu’on appelle fractions rationnelles à une indéterminée et à coefficients dans $K$.

Définition 2
Une fraction rationnelle à une indéterminée et à coefficients dans $K$ est une classe d’équivalence $P/Q$ d’un couple $(P,Q)$ de polynômes de $K[X]$, avec $Q$ non nul.

Exemple 2
Le quotient $\dfrac{5X^4-\pi X^2+3}{X^3+6X}$ du polynôme $5X^4-\pi X^2+3$ par le polynôme $X^3+6X$ est un élément du corps de fractions $\mathbb R(X)$ de l’anneau de polynômes $\mathbb R[X],$ c’est-à-dire une fraction rationnelle à coefficient réels. Elle ne doit pas être confondue avec la fonction rationnelle de l’exemple 1.

Ainsi, $P/Q$ et $R/S$ définissent la même fraction rationnelle précisément lorsque $P.S=R.Q$, égalité de polynômes ! En particulier, pour tout élément $a$ de $K$, dans ce cas on a $P(a).S(a)=R(a).Q(a)$ (évaluation de chaque polynôme en $a$), mais on ne peut pas en général écrire $P(a)/Q(a)=R(a)/S(a)$, c’est-à-dire une égalité de fonctions rationnelles au point $a$.

2.Fonctions rationnelles

2.1.Fonction définie par une fraction rationnelle

En effet, de même que nous ne devons pas confondre un polynôme avec la fonction polynomiale qu’il définit, nous ne devons pas confondre une fraction rationnelle $P/Q$ avec la fonction rationnelle qu’elle définit. Or, ici la situation est plus délicate : alors que tout polynôme $P=a_0+a_1X+a_2X^2+\ldots+a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n\in K[X]$ détermine une fonction polynomiale encore notée $P$, telle que $P(a):=a_0+a_1a+a_2a^2+\ldots+a_{n-1}a^{n-1}+a_na^n$ pour tout $a\in K$, la fraction $P/Q$ ne peut définir une fonction qu’aux points $a$ tels que $Q(a)\neq 0$. Or, puisque la même fraction peut être représentée de manières différentes, un problème immédiat se pose : si $P/Q=R/S$, est-ce que $Q(a)=0$ si et seulement si $S(a)=0$ ? La réponse est négative en général (considérer $1/1=(X-a)/(X-a)$ par exemple !), ce qui pose problème pour définir le domaine de la fonction rationnelle définie par $P/Q$ comme l’ensemble des points $a\in K$ tels que $Q(a)\neq 0$… C’est pourquoi on introduit, comme pour les fractions numériques, la notion suivante :

Définition 3
Si $P/Q\in K(X)$ est une fraction rationnelle, nous dirons que $(P,Q)$ est une forme irréductible de $P/Q$ si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, c’est-à-dire n’ont pas de diviseur non constant en commun.

Exemple 3
La fraction rationnelle $F=\dfrac{2X^3-5X^2+X+2}{6X^5-5X^4+26X^3-25X^2-20X}$ n’est pas sous forme irréductible, puisque le polynôme $2X+1$ est un facteur commun au numérateur $2X^3-5X^2+X+2=(2X+1)(X-1)(X-2)$ et au dénominateur $6X^5-5X^4+26X^3-25X^2-2X=(2X+1)(3X-4)(X^2+5)X.$ En supprimant cet unique facteur commun, on obtient la forme irréductible $F=\dfrac{X^2-3X+2}{3X^4-4X^3+15X^2-20X}.$

Dans ce cas, on démontre que si $P/Q=R/S$ sont deux formes irréductibles de la même fraction, alors pour tout $a\in K$ on a $Q(a)=0$ si et seulement si $S(a)=0$. On peut donc cette fois définir le domaine de la fonction rationnelle $f$ définie par $P/Q$ comme l’ensemble $D=\{a\in K : S(a)\neq 0\}$, pour une forme irréductible $R/S$ quelconque de $P/Q$. On définit alors la valeur de $f$ au point $a\in D$ comme l’élément $R(a)/S(a)$ de $K$ : en général, il faut une forme irréductible pour évaluer la fraction en tout point $a$, et si $P/Q=R/S$ sont deux formes irréductibles, pour tout $a\in D$ on a $Q(a)\neq 0$ et $S(a)\neq 0$, d’où cette fois-ci $P(a)/Q(a)=R(a)/S(a).$

2.2.Zéros et pôles d’une fraction rationnelle

3.Conclusion

Les fractions rationnelles à coefficient dans un corps $K$ sont une formalisation des fonctions rationnelles usuelles, et à ce titre prolongent les polynômes à coefficients dans $K$. Elles ne sont définies qu’en-dehors de leurs pôles, qui sont les zéros du dénominateur d’une représentation irréductible quelconque, et nulles précisément aux racines du numérateur d’une telle représentation. L’ordre d’un zéro ou d’un pôle $a$ d’une fraction rationnelle $F\in K(X)$ s’interprète comme l’exposant du polynôme $X-a$ dans une décomposition de $F$ en éléments irréductibles de $K[X]$, et ainsi l’étude de la fonction rationnelle définie par $F$ se ramène à « l’arithmétique de $F$ » dans le corps $K(X)$ des fonctions rationnelles, comme l’étude de la fonction polynomiale définie par un polynôme $P$ se ramène à l’arithmétique de $P$ dans l’anneau $K[X]$ des polynômes.