Quelle est l’opération inverse de la dérivée d’une fonction ? Une première réponse à cette question consiste à intégrer une fonction qu’on veut pouvoir considérer comme dérivée, afin d’en construire une primitive. Cette problématique conduit naturellement à l’intuition géométrique sous-jacente à la définition de l’intégrale de Riemann sur un segment, à partir d’approximations inférieures et supérieures simples. Les fonctions monotones et continues par morceaux sont intégrables au sens de Riemann, et en particulier toute fonction continue est la dérivée d’au moins une fonction, obtenue par intégration.

1.Trouver l’opération inverse de la dérivée

Si $f:I\to\mathbb R$ est une fonction numérique définie sur un intervalle réel $I$, et si $f$ est dérivable sur $I$, sa fonction dérivée $f’:I\to \mathbb R$ est un objet mathématique essentiel, dont l’étude permet d’identifier les variations de $f$ (voir Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ?). En effet, la fonction $f$ est croissante sur toute partie de $I$ où sa dérivée $f’$ est positive, elle est décroissante sur toute partie de $I$ où sa dérivée est négative. En général, la dérivée de $f$ et ses dérivées successives éventuelles fournissent des informations analytiques et géométriques précieuses sur la fonction elle-même. Par exemple, le développement de Taylor de $f$ en un point $x_0$ permet d’exprimer la fonction « autour de $x_0$ » à partir des valeurs de ses premières dérivées en $x_0$. Mais dans l’autre sens, l’existence d’une « opération » inverse de la dérivation est aussi une question naturelle, qu’on peut formuler de la manière suivante :

Question
Etant donnée une fonction numérique $f:I\to \mathbb R$ définie sur un segment, existe-t-il une fonction $F:I\to \mathbb R$ telle que $F’=f$ ?

Si une telle fonction $F$ existe, on dit que c’est une primitive de $f$. Une réponse à la question consiste alors à intégrer la fonction $f$ sur l’intervalle $I$, qu’on choisit en principe et en premier lieu comme un segment.

2.Le principe de l’intégrale sur un segment

2.1.L’intégrale de Riemann et la recherche d’une primitive

Bernhard Riemann est un mathématicien allemand du 19ième siècle, qui a notamment cherché à identifier quelles fonctions étaient intégrables. Intégrer une fonction, c’est en quelque sorte en réaliser une « moyenne continue », et Riemann a laissé son nom à l’intégrale élémentaire des fonctions réelles définies sur un segment. L’intérêt de l’intégrale de Riemann pour répondre à la question posée à la section précédente, est que l’intégration d’une fonction typique $f:[a,b]\to\mathbb R$, c’est-à-dire continue (où $a,b$ sont des nombres réels tels que $a\leq b$), peut fournir une primitive de $f$. En effet, pour une telle fonction l’aire (au sens algébrique) comprise entre le graphe de $f$, l’axe des abscisses, une droite verticale d’équation $x=x_0$ avec $x_0\in [a,b]$ et une autre droite verticale d’équation $x=t$ avec $t\in [a,b]$ variable, définit une fonction $F$ de la variable $t$, et dont la dérivée en chaque point $t\in [a,b]$ est $f$ : autrement dit, $F$ est une primitive de $f$.

2.2.Relation entre l’intégrale et la primitive

Pour nous en convaincre, considérons une approximation de cette aire, et choisissons pour cela un autre élément $t_0$ de $[a,b]$ : l’aire comprise entre l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=t_0$ et $x=t$ est par définition $F(t)-F(t_0)$. Soit alors $m$ le minimum des valeurs de $f(x)$ sur le segment $[t_0,t]$, et $M$ le maximum de ces valeurs : l’aire $F(t)-F(t_0)$ est comprise entre $(t-t_0).m$ et $(t-t_0).M$, autrement dit pour tout $t\neq t_0$ on peut écrire $$m\leq \dfrac{F(t)-F(t_0)}{t-t_0} \leq M.$$ On reconnaît au membre du milieu le rapport de monotonie de la fonction $F$ entre $t_0$ et $t$ : celle-ci est dérivable si et seulement si ce rapport possède une limite finie lorsque $t$ tend vers $t_0$, et cette limite est alors, par définition, $F'(t_0)$. Mais par définition de $m$ et de $M$, lorsque $t$ tend vers $t_0$ les nombres $m$ et $M$ – qui dépendent de $t$ – tendent vers la même valeur, à savoir $f(t_0)$, de sorte qu’à la limite, on a $f(t_0)=m=F'(t_0)=M$. En d’autres termes, la fonction $F$ est dérivable en $t_0$ et $F'(t_0)=f(t_0)$, c’est donc une primitive de $f$.

3.L’intégrale selon Riemann

3.1.Le principe de l’intégrale : réaliser des approximations