Les bases de l’espace euclidien

Comme dans le plan euclidien $\mathbb R^2$ , il existe dans l’espace euclidien $\mathbb R^3$ une infinité de bases ou « systèmes de représentation » des vecteurs : l’espace étant intuitivement de dimension 3, ces bases sont toujours formées de 3 vecteurs non nuls. La décomposition d’un vecteur dans une base correspond à la résolution d’un système linéaire de 3 équations, et on peut donner une interprétation géométrique naturelle d’une telle décomposition.

1.Bases de l’espace euclidien

1.1.Du plan à l’espace euclidien : la base canonique

Nous avons défini les bases du plan euclidien $\mathbb R^2$ comme systèmes de représentation des vecteurs du plan. Rappelons que la base dite canonique est la base naturelle formée du couple $(\vec i,\vec j)$ (dans cet ordre), où $\vec i=(1,0)$ et $\vec j=(0,1)$ sont les vecteurs qui permettent de décomposer n’importe quel vecteur $\vec u=(x,y)$ du plan directement à partir de ses coordonnées naturelles $x$ et $y$, et dans l’ordre, c’est-à-dire sous la forme $\vec u=(x,y)=x.\vec i+y.\vec j$. Les bases canoniques existent dans tout espace réel naturel de dimension finie (c’est-à-dire de la forme $\mathbb R^n)$, et les bases en général dans tout espace vectoriel réel. Il est donc possible d’étendre ces concepts d’abord à l’espace euclidien $\mathbb R^3$.

Par analogie avec le cas du plan, la base canonique de l’espace euclidien est le triplet de vecteurs $C=(\vec i,\vec j,\vec k)$, dans cet ordre, avec $\vec i=(1,0,0)$ , $\vec j=(0,1,0)$ et $\vec k=(0,0,1)$. Ces vecteurs permettent ici aussi de décomposer naturellement tout vecteur $\vec u=(x,y,z)$ de l’espace directement en fonction de ses coordonnées $x,y$ et $z$, et dans cet ordre, puisque l’on peut écrire, par définition de la multiplication d’un vecteur par un nombre réel : $$\vec u=x.(1,0,0)+y.(0,1,0)+z.(0,0,1)=x.\vec i+y.\vec j+z.\vec k.$$ On dit que les coordonnées de $\vec u$ dans la base $C$ sont $(x,y,z)$ : la base est dite « canonique » parce que le système de coordonnées est identique au vecteur de l’espace (voir la figure 2 pour une interprétation géométrique de ces coordonnées).

Figure 1 : Les trois vecteurs de la base canonique, $\vec i=(1,0,0)$, $\vec j=(0,1,0)$ et $\vec k=(0,0,1)$

1.2.Autres bases de l’espace euclidien

Comme dans le plan, il existe d’autres bases de l’espace, en fait une infinité, comme dans le plan parce que l’ensemble $\mathbb R$ est infini. Par exemple, en changeant l’ordre des vecteurs $\vec i,\vec j$ et $\vec k$ de la base canonique, on obtient d’autres bases : $C_1=(\vec j,\vec k,\vec i)$, $C_2=(\vec k,\vec i,\vec j)$ (obtenues par permutations circulaires de $C$), $C_3=(\vec i,\vec k,\vec j)$ (obtenue par échange de $\vec j$ et $\vec k$), $C_4=(\vec k,\vec j,\vec i)$ et $C_5=(\vec j,\vec i,\vec k)$ (obtenues par permutations circulaires de $C_3$). Ces 6 bases sont toutes celles qu’on peut obtenir avec ces trois vecteurs; par exemple, pour un vecteur $\vec u=(x,y,z)$ de $\mathbb R^3$ on a $\vec u=y.\vec j+x.\vec i+z.\vec k$, donc les coordonnées de $\vec u$ dans la base $C_5$ sont données par le triplet $(y,x,z)$ : elles sont donc différentes des coordonnées $(x,y,z)$ du même vecteur dans la base $B$, puisque l’ordre change !

Définition 1
En général, l’espace euclidien $\mathbb R^3$ étant intuitivement « de dimension $3$ », une base est la donnée d’un triplet $(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)$ de vecteurs (et pas de nombres réels !), possédant les propriétés suivantes :
i) Si $a,b,c$ sont trois nombres réels tels que $a.\vec u_1+b.\vec u_2+c.\vec u_3=\vec 0$, alors $a=b=c=0$ (on dit que les vecteurs $\vec u_1$, $\vec u_2$ et $\vec u_3$ sont linéairement indépendants)
ii) Si $\vec v$ est un vecteur de l’espace, alors il existe des nombres réels $a,b,c$ tels que $\vec v=a.\vec u_1+b.\vec u_2+c.\vec u_3$ (on dit que les vecteurs $\vec u_1$, $\vec u_2$ et $\vec u_3$ engendrent l’espace).

1.3.Propriétés essentielles d’une base

Rappelons que pour un vecteur $\vec v=(x,y,z)$, sa multiplication $a.\vec v$ par un nombre réel $a$ se fait coordonnée par coordonnée, de sorte que $a.\vec v=(a.x,a.y,a.z)$. La condition (ii) de la définition 1 exprime bien l’idée d’un « système de représentation » : tout vecteur de l’espace de « représente » à partir des vecteurs $\vec u_1$, $\vec u_2$ et $\vec u_3$. La condition (i) de la définition assure qu’une telle représentation est unique, de sorte que l’unique triplet de nombres réels $(a,b,c)$ décrivant $\vec v$ sous la forme $a.\vec u_1+b.\vec u_2+c.\vec u_3$ (ce qu’on appelle une combinaison linéaire de ces vecteurs) sont les coordonnées du vecteur $\vec v$ dans la base $(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)$. Cette première condition énonce en fait, sous une forme mathématiquement plus commode, l’idée intuitive que les trois vecteurs $\vec u_1$, $\vec u_2$ et $\vec u_3$ « pointent dans des directions différentes » : comme ils déterminent ainsi 3 directions d’un espace à 3 dimensions, ils permettent de « quadriller » tout l’espace. On peut en fait démontrer qu’ici les conditions (i) et (ii) sont équivalentes, et donc redondantes.

En somme, une base de l’espace euclidien est un triplet $B$ de vecteurs par rapport auquel tout vecteur $\vec v$ de l’espace possède une (unique) représentation à l’aide d’une combinaison linéaire, dont les coefficients sont par définition les coordonnées de $\vec v$ dans la base $B$.

Exemple 1
i) Les vecteurs $\vec u_1=(0,-2,1)$ et $\vec u_2=(0,6,-3)$ sont proportionnels, puisque $\vec u_2=3.\vec u_1$ : pour tout vecteur $\vec u_3=(x,y,z)$, on peut alors écrire $3.\vec u_1+(-1).\vec u_2+0.\vec u_3=(0,0,0)=\vec 0$, donc les vecteurs $\vec u_1$, $\vec u_2$ et $\vec u_3$ ne sont pas linéairement indépendants : ils ne peuvent pas former une base.
ii) Soient $\vec u_1=(0,-2,1)$, $\vec u_2=(5,0,-3)$ et $\vec u_3=(1,-1,1)$ : si $a,b,c$ sont des nombres réels tels que $a.\vec u_1+b.\vec u_2+c.\vec u_3=(0,0,0)$, alors coordonnée par coordonnée on a $5b+c=0$, $-2a-c=0$ et $a-3b+c=0$, d’où $c=-2a=-5b$ (à partir des deux premières équations), d’où $a=-c/2$ et $b=-c/5$, et finalement $-c/2+3c/5+c=0$ (en remplaçant dans la dernière équation), c’est-à-dire $11c/10=0$, et donc $c=0=a=b$ : le triplet $(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)$ est une base de l’espace euclidien.

Figure 2 : Les vecteurs $\vec i=(1,0,0)$, $\vec j=(0,1,0)$ et $\vec k=(0,0,1)$ de la base canonique déterminent trois axes $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$, et en projetant le vecteur $\vec u=(5,-3,4)$ d’abord sur le plan horizontal $(Oxy)$ déterminé par $\vec i$ et $\vec j$, on obtient les deux premières coordonnées $5$ et $-3$, puis en le projetant sur l’axe $(Oz)$ on obtient la troisième coordonnée $4$

2.Décomposition d’un vecteur dans une base

2.1.A partir de la résolution d’un système d’équations

Etant donnés une base $B=(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)$ de l’espace et un vecteur $\vec v=(x,y,z)$ quelconque, comment décomposer le vecteur $\vec v$ dans la base $B$ ? On doit, comme dans le plan, résoudre un système, ici un système de trois équations à trois inconnues, dont on sait qu’il possède une unique solution, précisément parce que $B$ est une base. Pour écrire ce système de manière générique, introduisons des coordonnées pour les vecteurs de la base $B$ : nous écrirons $\vec u_1=(x_1,y_1,z_1)$, $\vec u_2=(x_2,y_2,z_2)$ et $\vec u_3=(x_3,y_3,z_3)$. Nous cherchons donc des nombres réels $a,b,c$ tels que $(x,y,z)=\vec v=a.\vec u_1+b.\vec u_2+c.\vec u_3=(ax_1+bx_2+cx_3,ay_1+by_2+cy_3,az_1+bz_2+cz_3)$, c’est-à-dire, coordonnée par coordonnée, tels que les trois équations suivantes soient simultanément vérifiées :

$$\left\{\begin{eqnarray} x &=& ax_1+bx_2+cx_3\\y &=& ay_1+by_2+cy_3\\z &=& az_1+bz_2+cz_3.\end{eqnarray}\right.$$

La résolution générale d’un tel système est toujours possible, même si elle nécessite par commodité l’introduction de concepts d’algèbre linéaire comme les matrices de taille 3 et leurs déterminants. Le résultat est alors donné sous la forme de formules explicites exprimant les coefficients cherchés $a,b,c$ en fonction des coordonnées de $\vec u_1$,$\vec u_2$ et $\vec u_3$, et des coordonnées $x,y,z$ du vecteur $\vec v$.

Exemple 2
Avec la base $B$ de l’exemple 1 (ii), on doit résoudre le système suivant : $$\left\{\begin{eqnarray} x &=& 5b+c\\y &=& -2a-c\\z &=& a-3b+c.\end{eqnarray}\right.$$
La première équation nous donne $c=x-5b$, d’où en remplaçant dans la deuxième et la troisième, $y=-2a-x+5b$ et $z=a-3b+x-5b$ : en additionnant celles-ci, on obtient $y+z=-a-3b$. Des deux premières équations on tire également $x+y=5b-2a$, d’où $(x+y)-2(y+z)=11b$, ce qui nous donne $b=(1/11)(x-y-2z)$, et finalement $a=-y-z-3b=(1/11)(-3x-8y-5z)$ et $c=x-5b=(1/11)(6x+5y+10z)$. Les coordonnées de $\vec v=(x,y,z)$ dans la base $B$ dont donc $(a,b,c)$, avec les valeurs calculées; le coefficient $1/11$ qui apparaît à chaque fois est l’inverse du « déterminant du système ».

2.2.Interprétation géométrique de la décomposition

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