En utilisant la somme des premiers nombres impairs dans l’ordre, on peut définir un algorithme simple de calcul des racines carrées des nombres entiers avec une précision décimale arbitraire.

1.Calcul de la somme des \(n\) premiers entiers naturels impairs

Il est, curieusement, assez peu connu que la somme des \(n\) premiers nombres entiers naturels impairs vaut \(n^2\), ce qu’on peut voir de deux manières différentes.

La première consiste tout simplement à démontrer le résultat par récurrence sur \(n\geq 1\) : si \(n=1\), le premier entier naturel impair est \(1\), et on a bien \(1=1^2\). Supposant que le résultat est acquis au rang \(n\), c’est-à-dire (puisque le \(n\)-ième entier naturel impair est \(2n-1\)) que \(1+3+\ldots +(2n-3)+(2n-1)=n^2\), on peut alors écrire \(1+3+\ldots +(2n-1)+(2n+1)=n^2+(2n+1)\) (par hypothèse de récurrence) \(=(n+1)^2\) par l’identité remarquable bien connue \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Le résultat s’écrit savemment \(\sum_{i=1}^n (2i-1)=n^2\), le signe \(\sum\) (« sigma ») désignant une somme et l’indice \(i\) indiquant qu’on somme toutes les expressions \(2i-1\) obtenues en faisant prendre à \(i\) les valeurs de \(1\) à \(n\).

La seconde méthode consiste à partir de l’expression bien connue de la somme des \(n\) premiers entiers naturels non nuls, donnée par \(\sum_{i=1}^n i=1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\), et qu’on démontre aussi facilement par récurrence sur \(n\). On remarque alors que la somme des \(n\) premiers entiers naturels impairs, à savoir \(1+2+\ldots +(2n-3)+(2n-1)\), s’écrit aussi comme la différence de \(1+2+\ldots +(2n-1)+2n\) et de \(2+4+\ldots +(2n-2)+2n\). Le second terme de la différence étant le double de la somme des entiers de \(1\) à \(n\), on obtient \(\dfrac{2n(2n+1)}{2}-2\times \dfrac{n(n+1)}{2}=n.(2n+1)-n.(n+1)=n^2\) également.

2.Identifier la racine carrée par une suite de soustractions

A partir de ce « développement » de \(n^2\), on peut obtenir la racine carrée d’un entier naturel non nul \(n\) par des soustractions successives de nombres impairs. Commençons par le cas où \(n\) est un « carré parfait », c’est-à-dire le carré d’un autre entier naturel \(m\), situation où l’on a \(n=m^2\). Le développement précédent nous donne \(n\) comme la somme des \(m\) premiers nombres impairs, c’est-à-dire \(n=m^2=\sum_{i=1}^m 2i-1=1+3+\ldots + (2m-3)+(2m-1)\). Effectuons alors les soustractions successives à \(n\) des premiers nombres impairs dans l’ordre croissant : la première donne \(n-1\), la seconde (s’il y a lieu) \((n-1)-3=n-4\), la troisième (s’il y a lieu) \((n-4)-5\), et ainsi de suite, jusqu’à obtenir \(0\). Par le développement de \(n=m^2\) en nombres impairs, on s’aperçoit que le nombre de soustractions à effectuer est en fait exactement \(m\), autrement dit on dispose dans ce cas d’un algorithme de calcul de la racine carrée \(m\) de \(n\), qui consiste précisément à compter le nombre de soustractions des premiers entiers impairs à effectuer pour obtenir \(0\).