Les rotations vectorielles du plan (c’est-à-dire centrées en l’origine), se dérivent de manière analytique (par coordonnées) comme applications linéaires inversibles de déterminant \(1\), ce qui permet de les caractériser intégralement et de les identifier aux points du cercle trigonométrique, leur composition correspondant à la multiplication complexe.

1.Isométries et rotations vectorielles du plan

1.1.Rotations vectorielles

La notion de rotation dans le plan euclidien \(\mathbb R^2\) se conçoit bien sur le plan de l’intuition. Une rotation est une « transformation » du plan (une bijection du plan sur lui-même) qui en fait « tourner » les points autour d’un point fixe donné, son centre. Une rotation est dite vectorielle si son centre est l’origine \(O=(0,0)\) du plan. La compréhension des rotations du plan repose sur celle des rotations vectorielles, que nous considérons ici.

1.2.Applications linéaires

La description rigoureuse du concept de rotation (vectorielle) se fait grâce aux notions d’application linéaire et de norme euclidienne. Une application linéaire est une fonction \(f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\), qui « préserve l’addition et la multiplication par une constante sur chaque coordonnée ». Autrement dit, si \((x,y),(u,v)\in\mathbb R^2\) sont deux vecteurs du plan et \(a,b\in\mathbb R\) deux nombres réels, on demande que \(f(a.(x,y)+b.(u,v))=a.f(x,y)+b.f(u,v)\) (rappelons que \((x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)\) et que \(a.(x,y)=(a.x,a.y)\)). On peut démontrer qu’une application linéaire \(f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\) est toujours de la forme \(f(x,y)=(ax+by,cx+dy)\), pour des nombres réels \(a,b,c,d\) uniquement déterminés. Le nombre réel \(ad-bc\) est appelé déterminant de \(f\).

1.3.Norme et isométries vectorielles

Rappelons que la norme (euclidienne) d’un vecteur \((x,y)\in\mathbb R^2\) du plan est le nombre réel \(||(x,y)||=\sqrt{x^2+y^2}\). Une isométrie (vectorielle) du plan est une application linéaire \(f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\) qui « préserve » la norme des vecteurs. Autrement dit, une telle application possède la propriété suivante : pour tout vecteur \((x,y)\in\mathbb R^2\), on a \(||f(x,y)||=||(x,y)||\). En revenant à la description précédente d’une application linéaire \(f\) à partir de coefficients \(a,b,c,d\), ceci s’interprète de manière analytique (à partir des coordonnées) comme \(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(ax+by)^2+(cx+dy)^2}\).

1.4.Définition analytique des rotations vectorielles

On peut démontrer que le déterminant d’une isométrie vectorielle du plan ne peut être que \(1\) ou \(-1\), et une rotation (vectorielle) du plan est alors par définition une isométrie vectorielle de déterminant \(1\) (une isométrie de déterminant \(-1\) est une symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle). Dans ce cas, on a aussi \(a=d\) et \(b=-c\), et une rotation est alors exactement une application \(f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\) de la forme \(f(x,y)=(ax-by,bx+ay)\), avec \(a,b\) deux nombres réels tels que \(a^2+b^2=1\), c’est-à-dire tels que le point \(a,b\) est sur le cercle trigonométrique. Autrement dit, il existe une bijection entre l’ensemble des rotations vectorielles planes et le cercle trigonométrique \(S^1\), qui échange la rotation \(r\) décrite par \(r(x,y)=(ax-by,bx+ay)\) et le point \((a,b)\) du cercle \(S^1\).

2.Rotations vectorielles et cercle trigonométrique

2.1.Le groupe des rotations vectorielles planes

En utilisant cette approche, on peut en fait démontrer aussi que chaque rotation vectorielle \(r\) définit une bijection du plan euclidien \(\mathbb R^2\) sur lui-même. Il suffit pour cela « d’inverser » le système d’équations suivant : \[\left\{\begin{array}{ll} ax-by = u\\bx+ay = v,\end{array}\right.\] où \((u,v)\) et \((x,y)\) sont des points du plan liés par \((u,v)=r((x,y))\), si \(r(x,y)=(ax-by,bx+ay)\). Autrement dit, les conditions sur \(a\) et \(b\) qui caractérisent une rotation permettent d’exprimer \((x,y)\) en fonction de \((u,v)\), sous la forme \((u,v)=(au+bv,-bu+av)\). Or, puisque ceci revient à établir que \(r\) est une bijection et à décrire sa bijection inverse \(r^{-1}\), on voit que l’inverse d’une rotation est elle-même une rotation, ici \(r^{-1}(x,y)=(ax+by,-bx+ay)\).

Par ailleurs, la composition de deux rotations est elle-même une rotation. En effet, si \(r(x,y)=(ax-by,bx+ay)\) et \(s(x,y)=(cx-dy,dx+cy)\) sont deux rotations, en appliquant \(r\) puis \(s\) on peut décrire l’application \(s\circ r(x,y)\) comme \(s(r(x,y))=s(ax-by,bx+ay)=((ca-db)x-(cb+ad)y,(cb+ad)x+(ca-db)y)\). On calcule alors facilement \((ca-db)^2+(cb+ad)^2=1\), si bien que \(s\circ r\) est bien une rotation. Puisque l’application identique \(Id:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\) décrite par \(Id((x,y))=(x,y)\), qui laisse invariant le plan euclidien, est elle-même une rotation, on voit que l’ensemble des rotations vectorielles du plan est un groupe pour l’opération de composition des applications (en fait un sous-groupe du groupe des isométries vectorielles). On note ici \(\mathcal R\) ce groupe des rotations.

2.2.Isomorphie entre les groupes \((\mathcal R,\circ)\) et \((S^1,\times)\)

Pour aller plus loin