La méthode analytique de Descartes, qui permet de représenter le plan euclidien comme le produit cartésien \(\mathbb R^2\) grâce à la théorie des nombres réels, permet également de représenter l’espace euclidien comme le produit cartésien \(\mathbb R^3=\mathbb R^2\times \mathbb R\). On y retrouve le point de vue alternatif des points ou des vecteurs, et le produit scalaire naturel, qui permet, grâce à la représentation des éléments de l’espace par coordonnées, de calculer la distance entre deux points comme la norme d’un vecteur.

L’ensemble \(\mathbb R^3\) comme représentation de l’espace euclidien

La représentation analytique \(\mathbb R^2\) du plan euclidien

L’approche analytique de Descartes permet de représenter le plan euclidien comme le produit cartésien \(\mathbb R^2\). Les éléments du plan sont donc les couples \((x,y)\) de nombres réels, considérés soit comme points, soit comme vecteurs. Quand on les considère comme vecteurs, ils se représentent de manière unique sous la forme \((x,y)=x.(1,0) +y.(0,1)\) : on dit que les vecteurs \(\vec i=(1,0)\) et \(\vec j=(0,1)\) forment une base (dite canonique) du plan vectoriel \(\mathbb R^2\). L’ordre dans lequel on considère ces deux vecteurs a son importance : la base \((\vec i,\vec j)\) détermine une orientation (directe) du plan euclidien, la base \((\vec j,\vec i)\) détermine l’autre orientation (indirecte) du plan. L’orientation directe est celle selon laquelle on considère que les angles orientés ont une mesure positive dans le sens trigonométrique.

L’approche analytique de représentation de l’espace

En utilisant la même approche, on peut représenter l’espace euclidien à trois dimensions à partir d’un produit cartésien, à savoir \(\mathbb R^3=\mathbb R^2\times \mathbb R\). Les éléments de \(\mathbb R^3\) sont les triplets \(((x,y),z)\) de nombres réels, c’est-à-dire les couples formés d’un couple \((x,y)\in\mathbb R^2\) et d’un élément \(z\in\mathbb R\). Pour simplifier cette description, on écrit \((x,y,z)\) un tel triplet, et on considère à nouveau les éléments de \(\mathbb R^3\) soit comme des points, soit comme des vecteurs. Il est important de comprendre que points et vecteurs ne sont ici que deux manières différentes de considérer les mêmes objets (géométrique pour les points, algébrique pour les vecteurs). Comme dans le plan euclidien, un vecteur \((x,y,z)\in\mathbb R^3\) se représente de manière unique sous la forme \((x,y,z)=x.(1,0,0)+y.(0,1,0)+z.(0,0,1)\), et les vecteurs \(\vec i=(1,0,0)\), \(\vec j=(0,1,0)\) et \(\vec k=(0,0,1)\) forment la base canonique de l’espace vectoriel \(\mathbb R^3\). Ici aussi, l’ordre \((\vec i,\vec j,\vec k)\) dans lequel on considère ces vecteurs détermine une orientation de l’espace.

Représentation d'un élément de l'espace euclidien comme point ou vecteur
Le point \(M\) et le vecteur \(\vec u\) sont deux manières alternatives de considérer le même élément \(((5,4),3)\) de l’espace euclidien représenté comme l’ensemble \(\mathbb R^3=\mathbb R^3\times \mathbb R\). Les deux premières coordonnées \((5,4)\) sont celles de la projection de \(M\) dans le plan \(xOy\), la troisième coordonnée \(3\) correspond à la projection de \(M\) sur l’axe \(Oz\).

Le produit scalaire naturel dans \(\mathbb R^3\)

Dans le plan euclidien, nous avons évoqué l’existence d’un produit scalaire de deux vecteurs, lequel est un nombre réel donnant une information géométrique. Ce produit scalaire naturel est étroitement associé à la distance euclidienne, à l’orthogonalité et au théorème de Pythagore, et il est étonnant de retrouver une description complète de ces notions à partir du simple produit cartésien \(\mathbb R^2\). Or, il est possible de « prolonger » cette opération à un produit scalaire naturel de deux vecteurs dans l’espace \(\mathbb R^3\), lequel est aussi associé à l’orthogonalité et aux distances.

Définition analytique, norme euclidienne et distance

Si \(\vec u=(x,y,z)\) et \(\vec v=(a,b,c)\) sont deux vecteurs de \(\mathbb R^3\), par définition le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le nombre réel \(\vec u.\vec v=x.a+y.b+z.c\). La norme (euclidienne) du vecteur \(\vec u\) est alors la racine carrée de son produit scalaire avec lui-même, soit le nombre réel positif \(||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). La norme d’un vecteur est une mesure absolue de son « amplitude »; c’est pourquoi, pour définir la distance entre deux points, on considère la norme du vecteur qu’ils définissent. En effet, si on considère cette fois-ci \((x,y,z)=M\) et \((a,b,c)=N\) comme deux points, le vecteur qui représente le « déplacement » de \(M\) à \(N\) est le vecteur \(\overrightarrow{MN}=(a-x,b-y,c-z)\). Ainsi, la distance entre \(M\) et \(N\) est définie comme la norme de \(\overrightarrow{MN}\), soit le nombre réel positif \[d(M,N)=||\overrightarrow{MN}||=\sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2}.\] Et conformément à l’intuition, si on échange le rôle de \(M\) et \(N\) on obtient la même distance, puisque \(d(N,M)=||\overrightarrow{NM}||=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}\).

Distance entre deux points de l'espace comme norme du vecteur associé
La distance \(d(M,N)\) entre les points \(M=(-2,0,3)\) et \(N=(4,-3,1)\) est la norme du vecteur \(\overrightarrow{MN}=(6,-3,-2)\), soit \(||\overrightarrow{MN}||=\sqrt{6^2+(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{49}=7\).

Retrouver les coordonnées d’un vecteur à partir du produit scalaire

Il faut noter que l’on peut retrouver les coordonnées d’un vecteur de l’espace à partir de son produit scalaire avec chacun des vecteurs de base \(\vec i\), \(\vec j\) et \(\vec k\). En effet, si \(\vec u=(x,y,z)\in\mathbb R^3\), par définition du produit scalaire on a \(\vec u.\vec i=x.1+y.0+z.0=x\) et de même, \(\vec u.\vec j=y\) et \(\vec u.\vec k=z\). Cette remarque pourrait sembler triviale, mais ce procédé est intéressant lorsqu’on se donne un vecteur de l’espace autrement qu’avec ses coordonnées usuelles, par exemple à partir d’une représentation sphérique. Dans ce cas le produit scalaire est donné par une formule trigonométrique, et on peut l’utiliser pour déterminer les coordonnées du vecteur.

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