Produit vectoriel dans l’espace euclidien

Le produit vectoriel représente une opération antilinéaire essentielle dans l’espace euclidien, transformant deux vecteurs en un troisième. Lorsque les deux vecteurs initiaux sont linéairement indépendants, ils forment, avec leur produit vectoriel — dont la norme est équivalente à l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent —, une base directe. En partant du produit mixte pour définir théoriquement le produit vectoriel, on obtient une expression analytique précise de celui-ci. Cette expression analytique peut être induite en examinant les résultats des produits vectoriels calculés avec les vecteurs de la base canonique.

1.Le produit vectoriel : un produit de vecteurs

1.1.Problème : trouver l’équation d’un plan

Dans l’espace euclidien $\mathbb R^3$, un plan (affine) $P$ est l’ensemble des points $(x,y,z)$ solutions d’une équation cartésienne du type $ax+by+cz=d$, avec $a,b$ ou $c$ non nul. Lorsqu’on dispose d’une telle équation, il est simple de trouver une base de la direction de $P$ – c’est-à-dire du plan vectoriel $P_0$ d’équation $ax+by+cz=0$ – et donc de décrire entièrement $P$, pour peu qu’on en connaisse un point. Mais le problème inverse est plus délicat : étant donnés deux vecteurs $u,v$ de l’espace, linéairement indépendants et donc formant une base $(u,v)$ d’un plan (vectoriel) $P_0$, comment trouver une équation d’un plan affine $P$ de direction $P_0$ ?

Connaissant un point de $P$, le problème se ramène à trouver une équation de $P_0$, et on peut le résoudre grâce à l’opération appelée produit vectoriel, qui transforme deux vecteurs de l’espace $u,v$ en un autre vecteur $w$, et de sorte que si $u$ et $v$ sont linéairement indépendants, alors le triplet de vecteurs $(u,v,w)$ forme une base directe de l’espace.

1.2.Solution : le produit vectoriel et l’orthogonalité

En effet, il existe de multiples manières de « compléter » $(u,v)$ en une base de l’espace, mais le produit vectoriel fournit une solution « canonique » (ou « standard ») en termes de direction, d’orientation et d’amplitude, dans le sens où :

  1. Le vecteur $w$ est orthogonal à $u$ et $v$, et donc au plan $P_0$
  2. La base $(u,v,w)$ est orientée dans le sens direct
  3. La norme de $w$ est l’aire du parallélogramme déterminé par $u$ et $v$.

Or, ces propriétés entraînent que $P_0$ ne peut être que le plan vectoriel orthogonal à $w$, de sorte qu’en disposant d’une expression analytique de $w$ en fonction de $u$ et $v$, nous pouvons résoudre le problème du passage d’une base à l’équation d’un plan, même si le produit vectoriel a une signification plus profonde.

2.Définition du produit vectoriel

2.1.La forme linéaire associée au produit mixte

Les contraintes précédentes sont autant d’indications qui permettraient de donner une définition « heuristique » du produit vectoriel, comme nous l’avons fait pour le produit mixte. Nous allons plutôt nous appuyer sur cette dernière notion, afin d’en tirer une définition du produit vectoriel. Rappelons qu’une fonction $f:\mathbb R^3\to\mathbb R$ est dite linéaire (on parle alors de forme linéaire), si pour tous vecteurs $u,v\in\mathbb R^3$ et tout nombre réel $\lambda\in\mathbb R$, on a $f(u+\lambda v)=f(u)+\lambda.f(v)$. On démontre alors simplement la proposition suivante, qui permet de « représenter » les formes linéaires par produit scalaire avec un vecteur de l’espace :

Proposition 1
Si $f:\mathbb R^3\to \mathbb R$ est une forme linéaire, alors il existe un unique vecteur $u_f\in\mathbb R^3$ tel que pour tout $v\in\mathbb R^3$, on a $f(v)=u_f\cdot v$ ($u\cdot v$ dénote le produit scalaire de deux vecteurs $u$ et $v$).

En fait, le vecteur $u_f$ s’obtient de manière très simple : ses coordonnées sont les valeurs de la forme $f$ sur les trois vecteurs de la base canonique, c’est-à-dire $u_f=(f(i),f(j),f(k))$, avec $i=(1,0,0)$, $j=(0,1,0)$ et $k=(0,0,1)$.

Soient alors $u,v\in\mathbb R^3$ deux vecteurs de l’espace : si $w\in\mathbb R^3$ est un vecteur quelconque, le produit mixte $[u,v,w]=det(u,v,w)$ est un nombre réel, et par linéarité en la troisième composante, on définit une fonction linéaire $f:w\in\mathbb R^3\mapsto [u,v,w]\in\mathbb R$. Puisque $f$ est une forme linéaire, nous pouvons alors lui appliquer la proposition 1, pour définir le produit vectoriel :

Définition 1
Le produit vectoriel de $u$ et $v$ est l’unique vecteur de l’espace, noté $u\times v$, tel que pour tout vecteur $w\in\mathbb R^3$ on a $[u,v,w]=(u\times v)\cdot w$.

2.2.Expression analytique du produit vectoriel

Or, nous possédons une expression du produit mixte (produit mixte et orientation de l’espace, Définition 1) de trois vecteurs $u_1=(x_1,y_1,z_1)$, $u_2=(x_2,y_2,z_2)$ et $u_3=(x_3,y_3,z_3)$, sous la forme $$[u_1,u_2,u_3]=x_1(y_2z_3-z_2y_3)-y_1(x_2z_3-z_2x_3)+z_1(x_2y_3-y_2x_3).$$ A partir de celle-ci, on obtient alors une expression analytique du produit vectoriel $u\times v$ de deux vecteurs $u=(x_1,y_1,z_1)$ et $v=(x_2,y_2,z_2)$ à partir des valeurs de la forme linéaire $f:w\mapsto [u,v,w]$ sur les vecteurs de la base canonique. On trouve $f(i)=[u,v,i]=y_1z_2-y_2z_1$, $f(j)=z_1x_2-z_2x_1$ et $f(k)=x_1y_2-x_2y_1$, d’où l’expression suivante :

Proposition 2
Le produit vectoriel des vecteurs $u=(x_1,y_1,z_1)$ et $v=(x_2,y_2,z_2)$ est le vecteur $$u\times v=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1).$$

Dans la pratique, lorsqu’on calcule un produit vectoriel on peut écrire les deux vecteurs $u$ et $v$ sous forme de colonnes, et recopier les deux premières lignes en-dessous : $$\begin{array}{cc} x_1 & x_2\\y_1 & y_2\\z_1&z_2\\x_1 & x_2\\y_1 & y_2\end{array}$$ On effectue alors les trois calculs comme ceux de trois déterminants 2×2 à partir de la deuxième ligne : $y_1z_2-y_2z_1$, $z_1x_2-z_2x_1$ et $x_1y_2-x_2y_1$.

Le produit vectoriel $w=u\times v$ des vecteurs $u=(4,-3,2)$ et $v=(2,3,2)$ a pour coordonnées $(-12,-4,18)$; il est orthogonal au plan $P$ engendré par les vecteurs linéairement indépendants $u$ et $v$, la base $(u,v,w)$ est directe et la norme de $w$ est l’aire du parallélogramme formé sur $u$ et $v$, soit $\sqrt{(-12)^2+(-4)^2+18^2}=\sqrt{484}=22$

3.Propriétés du produit vectoriel

3.1.Propriétés algébriques

Le produit vectoriel étant défini à partir du produit mixte, il hérite de certaines propriétés essentielles associées au déterminant de trois vecteurs, qui sont résumées dans la proposition suivante :

Proposition 3
Si $u,v,w$ sont trois vecteurs de l’espace et $\lambda$ est un nombre réel, alors on a :
o) $u\cdot(u\times v)=0$
i) $v\times u=-u\times v$
ii) $0\times u=0$ ($0$ est le vecteur nul)
iii) $(\lambda u+v)\times w=\lambda.(u\times w)+v\times w$.

Ces propriétés se démontrent de manière élémentaire à partir de celles du produit mixte. Par antilinéarité (propriété (i)), les propriétés (o), (ii) et (iii) sont évidemment valables sur l’autre coordonnée. Considérons la première propriété : elle traduit le fait que par définition, on a $u\cdot (u\times v)=det(u,u,v)=0$, le déterminant étant nul si deux vecteurs sont identiques. C’est aussi vrai pour $v$, si bien que $u\times v$ est toujours orthogonal à $u$ et $v$, et donc au plan $P$ engendré par $u$ et $v$ si ceux-ci sont linéairement indépendants. Dans ce cas, cela signifie que $P$ est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à $u\times v$, et nous pouvons alors résoudre le problème posé au début de l’article :

Corollaire 1
Si $u=(x_1,y_1,z_1)$ et $v=(x_2,y_2,z_2)$ forment une base du plan vectoriel $P$, alors une équation de $P$ est $a x+by+cz=0$, avec $a=y_1z_2-y_2z_1$, $b=z_1x_2-z_2x_1$ et $c=x_1y_2-x_2y_1.$

3.2.Interprétation géométrique

Supposons que $u$ et $v$ sont linéairement indépendants : par définition, leur produit vectoriel est l’unique vecteur $u\times v$ tel que pour tout vecteur $w$, on a $(u\times v)\cdot w=[u,v,w]$, c’est-à-dire le volume algébrique du parallélépipède orienté construit sur $u,v,w$. En appliquant cette égalité à $w=u\times v$ lui-même, on obtient $[u,v,u\times v]=(u\times v)\cdot (u\times v)=||u\times v||^2$. Comme $u\times v$ est orthogonal à $u$ et $v$ le triplet $(u,v,u\times v)$ est une base de l’espace euclidien. Par ce qui précède, son déterminant est positif, et on a donc :

Corollaire 2
Pour tous vecteurs linéairement indépendants $u,v$ de l’espace, le triplet $(u,v,u\times v)$ est une base directe de l’espace.

De plus, puisque $u\times v$ est orthogonal au plan $P$ engendré par $u$ et $v$, cela signifie que l’aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ est obtenue en divisant le volume (algébrique) $||u\times v||^2$ du parallélépipède formé par $u,v,u\times v$ par sa hauteur, soit $||u\times v||$. Par conséquent, la norme de $||u\times v||$ est l’aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$. Le produit vectoriel $u\times v$, dans ce cas, est donc l’unique vecteur ayant les propriétés énoncées à la section 1.2 :

  • $u\times v$ est orthogonal à $u$ et $v$
  • $(u,v,u\times v)$ est une base directe de l’espace
  • $||u\times v||$ est l’aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$.

Ainsi, le produit vectoriel permet de compléter de manière « canonique » (c’est-à-dire standard) un couple de vecteurs linéairement indépendants en une base de l’espace.

3.3.Expression de la norme du produit vectoriel

Nous savons que la norme du produit vectoriel $u\times v$ est l’aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$. Une expression très commode de cette norme, et donc un calcul analytique de cette aire, est possible à partir du produit scalaire de $u$ et $v$ et de leur normes :

Proposition 4
Si $u,v$ sont deux vecteurs de l’espace, alors on a $||u\times v||^2+(u\cdot v)^2=||u||^2.||v||^2.$

Il existe plusieurs démonstrations de cette égalité. Sans disposer du double produit vectoriel et de l’interprétation trigonométrique du produit vectoriel, on peut procéder de manière analytique, c’est-à-dire par le calcul, en écrivant à nouveau $u=(x_1,y_1,z_1)$ et $v=(x_2,y_2,z_2)$. On a : $\begin{eqnarray} ||u\times v||^2+(u\cdot v)^2 &=&(y_1z_2-y_2z_1)^2+(z_1x_2-z_2x_1)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2+(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)^2\\&=&y_1z_2^2+y_2z_1^2+z_1^2x_2^2+z_2^2x_1^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+z_1^2z_2^2\\&=&(x_1^2+y_1^2+z_1^2).(x_2^2+y_2^2+z_2^2)=||u||.||v||^2,\end{eqnarray}$
les double-produits s’annulant deux-à-deux après la première égalité.

4.Bases orthonormées et quaternions

4.1.Produit vectoriel des vecteurs de la base canonique

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