la Règle et le Compas
Une approche philosophique de la science mathématique
Les nombres ordinaux : compter dans l’infini
Les nombres entiers naturels ont deux visages : d'un côté, ils peuvent être vus comme des séquences ou des "énumérations" – ce qu'on appelle les nombres ordinaux. De l'autre, ils sont perçus comme des "quantités", ce qui nous mène aux nombres cardinaux. Bien que cette...
Implication matérielle et inférence logique : une confusion fréquente
Dans les discussions mathématiques, on entend parfois dire que "le faux implique n'importe quoi", et ce slogan est souvent déformé en : "à partir de quelque chose de faux, on peut démontrer que n'importe quoi est vrai", ce qui est parfaitement absurde. Ce malentendu...
Loi des sinus, aire du triangle et formule de Héron
Introduction Dans Produit scalaire et loi des cosinus, nous avons montré à partir des angles orientés comment l'interprétation trigonométrique du produit scalaire de deux vecteurs conduisait à une généralisation du théorème de Pythagore, la "loi des cosinus" ou...
La construction axiomatique de l’arithmétique naturelle
L'arithmétique naturelle est la science des nombres entiers naturels : elle repose sur l'addition, la multiplication, l'ordre naturel et la divisibilité. Or, toutes ces opérations et relations se définissent à partir de la seule fonction successeur, dont les...
Les bases de l’espace euclidien
Comme dans le plan euclidien $\mathbb R^2$ , il existe dans l'espace euclidien $\mathbb R^3$ une infinité de bases ou "systèmes de représentation" des vecteurs : l'espace étant intuitivement de dimension 3, ces bases sont toujours formées de 3 vecteurs non nuls. La...
Racines carrées dans les corps finis : le cas de -1 et le critère d’Euler
Les corps finis traduisent sur le plan structurel certaines propriétés arithmétiques et servent de "corps de restes" en théorie des nombres. Par analogie avec les corps $\mathbb R$ des nombres réels et $\mathbb C$ des nombres complexes, le nombre $-1$ peut y posséder...
Equations cartésiennes : la description analytique des droites du plan
L'approche analytique de la géométrie plane, que nous devons à Descartes, permet de donner une description purement algébrique des droites du plan comme ensembles de solutions d'équations d'un seul type. Ces équations dites cartésiennes contiennent toute l'information...
Définir l’aire du triangle et du parallélogramme
Dans la géométrie intuitive on définit les aires des figures sans justification ou sans démonstration. Dans la géométrie euclidienne moderne, c'est-à-dire analytique, la définition de l'aire du triangle et du parallélogramme se fondent sur des définitions univoques de...
Loi des cosinus et produit scalaire de deux vecteurs
On rencontre souvent en géométrie et en physique une expression trigonométrique du produit scalaire. A partir d'une définition du cosinus et du sinus d'un angle affine, on peut la démontrer directement grâce aux propriétés élémentaires du produit scalaire. On tire de...
Anneaux d’entiers quadratiques et ramification des nombres premiers
L'anneau des entiers de Gauss \(\mathbb Z[i]\) possède des propriétés remarquables, analogues à celles de l'ensemble \(\mathbb Z\) des nombres entiers relatifs. Il existe toute une famille de tels anneaux, possédant des propriétés similaires, et définis aussi à partir...
Les corps finis : une approche structurelle de l’arithmétique
Les corps sont les anneaux dont tout élément non nul est inversible. Tous les anneaux intègres finis sont des corps, et tous ces corps finis sont commutatifs. Avec un peu d'algèbre commutative, on peut même décrire entièrement tous les corps finis, qui correspondent...
Nombres premiers entre eux et inversion modulaire
Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux si ils n'ont pas de facteur premier en commun : il sont donc premiers "l'un par rapport à l'autre". Le nombre des restes modulo un entier naturel non nul $n$ qui sont premiers avec $n$ est ce qu'on appelle l'indicateur...
Anneaux, homomorphismes et quotients
Nous étudions la structure mathématique naturelle d'anneau, dont l'ensemble $\mathbb Z$ des entiers relatifs est le prototype, et qui permet d'interpréter de nombreux concepts de la théorie des nombres et de la géométrie, à travers notamment les notions...
Division euclidienne et arithmétique modulaire
La division des entiers naturels ne donne pas toujours un résultat entier, et la division euclidienne donne une meilleure approximation de ce résultat, sous la forme d'un quotient et d'un reste. On peut définir une addition et une multiplication "modulaires" sur les...
La ramification imaginaire des nombres premiers
Nous savons que les nombres premiers ne demeurent premiers dans l'anneau \(\mathbb Z[i]\) des entiers de Gauss que lorsqu'ils sont sommes de deux carrés. En considérant leurs congruences modulo \(4\), il est possible d'en dire plus : on peut les classer en trois types...
Un algorithme de calcul des racines carrées
En utilisant la somme des premiers nombres impairs dans l'ordre, on peut définir un algorithme simple de calcul des racines carrées des nombres entiers avec une précision décimale arbitraire. 1.Calcul de la somme des \(n\) premiers entiers naturels impairs Il est,...
Plus de réels que de rationnels : un argument diagonal par les bases de numération
Dans cet article, nous abordons la question du "comptage" des nombres réels, autrement dit de la détermination du cardinal de l'ensemble \(\mathbb R\). Celui-ci est strictement supérieur au cardinal de l'ensemble des nombres rationnels, ce que nous expliquons de deux...
L’irrationalité de √2 : une tragédie pythagoricienne
Les tragédies grecques existaient aussi chez les mathématiciens de l'Antiquité. La découverte de la racine carrée du nombre 2 est le sujet de l'une d'entre elles, qui a trouvé une fin heureuse à l'époque moderne. 1.Un disciple de Pythagore "mesure" la diagonale du...
L’orientation du plan euclidien : bases et angles
L'intuition visuelle à travers laquelle nous représentons le plan euclidien suggère que nous puissions l'orienter selon un sens de rotation. Cette intuition reflète une définition mathématique rigoureuse de l'orientation du plan, qui consiste à choisir une base, et...
Le paradoxe de Russell et la théorie des classes
Le paradoxe ou antinomie de Russell est un paradoxe très simple de la théorie naïve des ensembles, qui surgit lorsqu'on cherche à définir un "ensemble de tous les ensembles". Sa résolution repose sur l'introduction de la notion de classe et la distinction des...