Le produit scalaire de deux vecteurs dans un espace réel est un nombre réel qui tient compte de la direction, du sens et de l’amplitude des deux vecteurs.

1.Le produit scalaire naturel dans le plan euclidien

De la distance entre deux points au produit scalaire

Dans le plan euclidien \(\mathbb R^2\), la « distance (euclidienne) » dite « naturelle » entre deux points \(M=(a,b)\) et \(N=(c,d)\) est définie comme le nombre \(\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\). Cela vient de ce qu’on interprète cette longueur comme celle de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, qu’on peut calculer grâce au théorème de Pythagore (voir Le Plan euclidien : géométrie antique et approche analytique). Par analogie, dans l’espace euclidien (à trois dimensions) \(\mathbb R^3\) on définit aussi la distance naturelle entre deux points \(A=(a,b,c)\) et \(B=(x,y,z)\) comme la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées. C’est donc le nombre réel \(d(A,B)=\sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2}\). On peut grâce à cette définition définir par exemple une sphère de centre \(A=(a,b,c)\) et de rayon \(R\geq 0\) comme l’ensemble des points \(M=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) tels que \(d(A,M)=R\), ce qui se traduit par l’équation \((a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2=R^2\).

Si nous revenons au plan \(\mathbb R^2\), nous constatons que l’expression sous le signe \(\sqrt{}\) est de la forme \(x^2+y^2\) pour les nombres réels \(x=a-c\) et \(y=b-d\). Autrement dit, au lieu de considérer la distance comme associée aux deux points \(M\) et \(N\), on peut la considérer comme associée au vecteur \(\vec{MN}=(x,y)\in\mathbb R^2\) : c’est ce qu’on appelle la norme du vecteur \(\vec{MN}\), qu’on note \(||\vec{MN}||\). Cette norme, qui mesure l’amplitude d’un vecteur, est associée à une opération naturelle entre deux vecteurs \(\vec u=(x_1,y_1)\in\mathbb R^2\) et \(\vec v=(x_2,y_2)\in\mathbb R^2\), qu’on appelle produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\). Ce produit scalaire est défini comme le nombre réel \(\vec u.\vec v=x_1x_2+y_1y_2\), et on voit que la norme d’un vecteur \(\vec u=(x,y)\), soit la distance \(\sqrt{x^2+y^2}\) entre ses deux extrémités, est la racine carrée de son produit scalaire avec lui-même, c’est-à-dire \(\sqrt{\vec u.\vec u}\).

Sur la figure suivante, les coordonnées \((c-a,d-b)\) du vecteur \(\vec{MN}\) sont lisibles à partir des coordonnées des points \(M\) (\(a,b)\) et \(N\) (\(c,d)\). La norme du vecteur \(\vec{MN}\) est alors la distance entre \(M\) et \(N\), soit \(\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}\).

La norme d'un vecteur défini par deux points est la distance entre ces deux points

Un vrai produit avec une signification géométrique

Pourquoi appelle-t-on cette opération un produit ? Parce que celui-ci possède des propriétés analogues au produit de deux nombres. Par exemple, si \(a,b,c\in\mathbb R\) sont trois nombres réels, on a la propriété bien connue de distributivité de la multiplication sur l’addition, soit l’égalité \(c\times (a+b)=c\times a+c\times b\). De même, pour \(\vec u=(a,b)\), \(\vec v=(x,y)\) et \(w=(z,t)\) trois vecteurs de \(\mathbb R^2\), on a \[\vec w.(\vec u+\vec v)=z\times (a+x)+t\times (b+y)=(za+tb)+(zx+ty)=(\vec w.\vec u)+(\vec w.\vec v).\] On voit que cette distributivité du produit scalaire sur l’addition des vecteurs provient en fait de la distributivé de \(\times\) sur \(+\) dans l’ensemble \(\mathbb R\). De la même manière, si \(a\) est un nombre réel, on peut facilement montrer que \(\vec u.(a\vec v)=(a\vec u).\vec v\), ce qui s’aparrente plutôt à la commutativité et l’associativité du produit de deux nombres. Notons aussi que le produit scalaire est symétrique, c’est-à-dire que \(\vec u.\vec v=\vec v.\vec u\).

Dans le plan, le produit scalaire possède une interprétation géométrique indirecte. Si on considère l’angle (non orienté) \((\vec u,\vec v)\) formé par les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\), on peut donner une expression trigonométrique du produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) sous la forme \(\vec u.\vec v=||\vec u||\times ||\vec v||\times \cos (\vec u,\vec v)\). A partir de là, si on considère que deux vecteurs déterminent un parallélogramme, alors le produit scalaire \(\vec u.\vec v\) est l’aire signée (c’est-à-dire tenant compte du signe, soit un nombre positif ou négatif) du parallélogramme déterminé, non par les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\), mais par \(\vec u\) et le vecteur \(\vec w\) obtenu en appliquant une rotation d’angle \(\pi/2\) (un quart de tour à gauche) au vecteur \(\vec v\). L’aire est signée parce que le cosinus de l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) est positif ou négatif, selon que l’angle (non orienté) est aigu (compris entre \(0\) et \(\pi/2\)) ou obtus (compris entre \(\pi/2\) et \(\pi\)).

Sur la figure suivante, on peut visualiser le produit scalaire \(\vec u.\vec v=||\vec u||\times ||\vec v||\times \cos\alpha\) des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) comme l’aire signée du parallélogramme \(ABCD\) construit à partir des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec w\), où \(\vec w\) est obtenu à partir de \(\vec v\) par une rotation horaire d’angle \(\pi/2\), et où \(\alpha\) est l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\). Le signe du produit scalaire est ici positif, car l’angle \(\alpha\) est aigu.

Le produit scalaire de deux vecteurs est l'aire signée d'un parallélogramme associé

Une mesure de l’orthogonalité

Ainsi, le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel qui combine à la fois le sens et la direction de deux vecteurs à travers l’angle qu’ils forment. Il peut donc servir de critère pour déterminer l’orthogonalité (analogue vectoriel de la perpendicularité) de deux vecteurs, et donc de deux droites par exemple. En ce sens, il est une « mesure » de l’orthogonalité de deux vecteurs, et permet même de définir lorsque deux vecteurs sont orthogonaux.

Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont, en effet, dits orthogonaux, par définition, lorsque l’angle (non orienté) qu’ils forment est un angle droit. En utilisant l’expression trigonométrique du produit scalaire \(\vec u.\vec v=||\vec u||\times ||\vec v||\times \cos (\vec u,\vec v)\), on voit que ce produit scalaire est nul exactement lorsque l’un des vecteurs \(\vec u\) ou \(\vec v\) est de norme nulle, ou bien lorsque \(\cos(\vec u,\vec v)=0\). Si donc aucun des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont nuls, leur produit scalaire est nul si, et seulement si, ils sont orthogonaux. Ceci permet, par exemple, de calculer directement l’équation d’une droite orthogonale à une droite donnée lorsqu’on connaît un vecteur directeur de celle-ci.

Sur la figure suivante, qui reprend la première, on montre comment le produit scalaire permet de trouver une équation cartésienne de la droite \(\mathscr D\) orthogonale au vecteur \(\vec{MN}\) en \(M\). Un point \(P\) de coordonnées \((x,y)\) est sur cette droite \(\mathscr D\) si et seulement si les vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{MP}\) sont orthogonaux, autrement dit si et seulement si \(\vec{MN}.\vec{MP}=0\), ou encore \((c-a)(x-a)+(d-b)(y-b)=0\). En développant, on obtient une équation cartésienne de \(\mathscr D\) de la forme \((c-a)x+(d-b)y-a(c-a)-b(d-b)=0\), dont les coefficients sont écrits à partir des coordonnées de \(M\) et de \(N\).

On peut calculer l'équation cartésienne d'une droite orthogonale à un vecteur en un point grâce au produit scalaire

2.Produits scalaires en dimensions supérieures

Le produit scalaire naturel en dimension \(3\)

Dans l’espace réel \(\mathbb R^3\) de dimension \(3\), la géométrie des angles est passablement plus compliquée, mais nous pouvons encore définir un produit scalaire naturel. En effet, la définition analytique du produit scalaire dans le plan (c’est-à-dire celle utilisant des coordonnées) est inspirée de la distance entre deux points, et utilise les coordonnées. Il est possible de la « prolonger » à des vecteurs en dimension \(3\).

Nous avons déjà donné une expression de la distance entre deux points de l’espace tridimensionnel, d’où nous pouvons tirer la norme d’un vecteur \(\vec v=(x,y,z)\in\mathbb R^3\) : il s’agit du nombre réel positif \(||\vec v||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Comme dans le cas du plan, le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec u=(a,b,c)\) et \(\vec v=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) est alors défini comme \[\vec u.\vec v=ax+by+cz.\] On peut facilement vérifier par le calcul qu’il possède les mêmes propriétés que le produit scalaire dans le plan.

Sur la figure suivante, l’axe des \(x\) (abscisses) est représenté en rouge et l’axe des \(y\) (ordonnées) en vert. Nous avons représenté deux points de l’espace euclidien \(\mathbb R^3\), le point \(M\) de coordonnées \((1,-4,3)\) et le point \(N\) de coordonnées \((2,0,-1)\). La norme euclidienne du vecteur \(\vec{MN}\) (représenté par la flèche en violet) est la distance entre \(M\) et \(N\), soit \(\sqrt{(1-2)^2+(-4-0)^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{1+16+16}=\sqrt{33}\).

La norme d'un vecteur défini dans l'espace par deux points est la distance entre ces deux points

Le produit scalaire en dimensions supérieures

Plus généralement, si \(n\) est un entier naturel non nul, convenons d’appeler « espace réel à \(n\) dimensions » l’ensemble \(\mathbb R^n\) des \(n\)-uplets de nombres réels, c’est-à-dire des suites finies \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\) de nombres réels. Pour \(n=2\), on obtient le plan euclidien \(\mathbb R^2\) et pour \(n=3\), on obtient l’espace euclidien \(\mathbb R^3\). On peut alors définir, de manière analogue, le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) et \(\vec v=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\) de \(\mathbb R^n\), comme le nombre réel \[\vec u.\vec v=x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n.\] On dispose également de la norme euclidienne \(||\vec u||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}\) qui mesure « l’amplitude » d’un vecteur \(\vec u\) et de la distance euclidienne naturelle entre deux points. Dans ces espaces, le produit scalaire sert également à définir une notion d’orthogonalité, et on y retrouve par exemple toujours une version du théorème de Pythagore.

Pour \(n=4\), nous pourrions considérer les points ou vecteurs \((t,x,y,z)\in \mathbb R^4\) comme les éléments d’un « espace-temps mathématique » (où la première coordonnée \(t\) représenterait un temps idéal et les trois autres \(x,y,z\) un lieu dans l’espace ). On peut donc concevoir un élément de \(\mathbb R^4\) comme un « événement ». La distance euclidienne entre deux points est alors une distance entre deux événements, qui tient compte en même temps de l’espace et du temps (ceci étant dit, on utilise une autre forme de distance dans la théorie de la relativité). A ce produit scalaire et cette distance sont associés une géométrie euclidienne en dimension \(4\), où l’on peut trouver par exemple l’analogue du cube (appelé hypercube ou tesseract) et l’analogue de la sphère.

Autres produits scalaires et analogues

Les produits scalaires sont des exemples de fonctions qu’on appelle formes bilinéaires symétriques. Le produit scalaire présenté ici est dit « naturel » car il est directement défini à partir de la description naturelle des espaces réels \(\mathbb R^n\), mais il existe sur chaque tel espace une infinité d’autres produits scalaires, qui sont autant d’autres manières de mesurer l’orthogonalité et les distances, et donc de faire de la géométrie euclidienne.

Il existe également d’autres types de formes bilinéaires qui ne sont pas des produits scalaires et permettent de développer des notions de géométrie analogues. Nous avons cité l’espace-temps de Minkowski, qu’on peut concevoir comme l’espace réel \(\mathbb R^4\) sur lequel on a un analogue du produit scalaire défini pour deux vecteurs \(\vec u=(t,x,y,z)\) et \(\vec v=(t’,x’,y’,z’)\) par \(\vec u.\vec v=tt’-xx’-yy’-zz’\) (comparer avec la formule pour le produit scalaire). Une telle « structure » permet de donner une représentation géométrique des propriétés physiques de l’espace-temps de la théorie de la relativité restreinte (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Minkowski).

Enfin, il existe également un produit scalaire complexe naturel, qu’on peut définir de manière élémentaire sur les espaces complexes \(\mathbb C^n\), et qui utilise la conjugaison complexe. Si \(z=(z_1,\ldots,z_n),w=(w_1,\ldots,w_n)\in\mathbb C^n\) sont deux vecteurs, on le définit comme \(z.w=z_1\overline{w_1}+\ldots +z_n\overline{w_n}\), où \(\overline w\) dénote le conjugué du nombre complexe \(w\). Ses propriétés sont analogues, mais plus complexes (!), à celles du produit scalaire réel naturel, qu’il prolonge en quelque sorte. Notons qu’il est également possible de définir des produits scalaires, réels ou complexes, dans des espaces de dimension infinie (comme certains espaces de fonctions), où on peut exporter des notions de géométrie euclidienne pour faire de l’analyse par exemple. Mais un tel exposé dépasse le cadre de cet article.