Nous savons que les nombres premiers ne demeurent premiers dans l’anneau \(\mathbb Z[i]\) des entiers de Gauss que lorsqu’ils sont sommes de deux carrés. En considérant leurs congruences modulo \(4\), il est possible d’en dire plus : on peut les classer en trois types différents selon leur arithmétique imaginaire, et ces trois types sont étroitement associés aux racines carrées résiduelles de \(-1\).

1. Le devenir des nombres premiers

1.1. Entiers de Gauss premiers et inversibles

Dans « Les entiers de Gauss : une arithmétique imaginaire », nous avons évoqué que certains entiers naturels premiers, comme \(2=(1+i)(1-i)\), n’étaient plus premiers dans l’anneau \(\mathbb Z[i]\) des entiers de Gauss : c’est le cas exactement lorsqu’ils ne sont pas somme de deux carrés. Rappelons qu’un entier de Gauss, c’est-à-dire un nombre complexe \(z=a+ib\) avec \(a,b\) entiers relatifs, est dit premier si dès que \(w,w’\) sont des entiers de Gauss tels que \(z\) divise le produit \(ww’\), alors \(z\) divise \(w\) ou \(z\) divise \(w’\). Les éléments premiers de \(\mathbb Z[i]\) étant aussi ses éléments irréductibles, cela revient à ce que les seuls diviseurs de \(z\) soient les éléments inversibles \(1,-1,i,-i\) de \(\mathbb Z[i]\) et les produits de \(z\) par un tel élément.

1.2. Décomposition et ramification des nombres premiers

Or, comme pour l’ensemble \(\mathbb Z\) des entiers relatifs, tout entier de Gauss possède une décomposition en nombres premiers, ce qui provient de la possibilité d’effectuer des divisions euclidiennes dans \(\mathbb Z[i]\). On peut alors classer le « devenir » de tous les nombres naturels premiers dans \(\mathbb Z[i]\), selon qu’ils y « restent » premiers ou non, et sinon, comment ils se « décomposent » à leur tout en nombres premiers de \(\mathbb Z[i]\). Il s’agit là d’un exemple naturel d’une théorie profonde et de longue portée en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique, la ramification des idéaux premiers d’un anneau. Nous allons ici évoquer la ramification des nombres entiers naturels premiers dans \(\mathbb Z[i]\).

2. Inertie, décomposition et ramification dans \(\mathbb Z[i]\)

2.1. Nombres premiers associés dans \(\mathbb Z[i]\)

Pour distinguer les types de décompositions en nombres premiers dans \(\mathbb Z[i]\), on introduit la notion suivante. Deux entiers de Gauss premiers \(\pi\) et \(\pi’\) (il ne s’agit évidemment pas ici du nombre réel \(\pi\), lequel n’est pas un entier de Gauss !) sont dits associés s’il existe un entier de Gauss inversible \(u\) (c’est-à-dire \(u=1,-1,i\) ou \(-i\)) tel que \(\pi’=u\pi\), autrement dit si \(\pi’=\pi,-\pi,i\pi\) ou \(-i\pi\). Par exemple, les nombres \(1+i\) et \(1-i\) sont premiers associés, puisque \((-i).(1+i)=-i-(-1)=1-i\). Or, puisque la norme d’un nombre premier \(a+ib\) de \(\mathbb Z[i]\) (c’est-à-dire l’entier \(a^2+b^2\)) est un nombre premier dans \(\mathbb Z\), et que la norme de \(1,-1,i\) et \(-i\) est \(1\), si les deux entiers de Gauss premiers \(\pi\) et \(\pi’\) sont associés, alors ils ont la même norme \(p\), qui est un nombre premier décomposé en somme de deux carrés.

2.2. Nombres premiers inertes, décomposés ou ramifiés