MATHESIS

La Science de l’Infini

La Philosophie Mathématique

Introduction à la Philosophie Mathématique

Les mathématiques sont une étude qui, si l’on part de ses parties les plus familières, peut être poursuivie dans l’une ou l’autre de deux directions opposées. La direction la plus familière est constructive, vers une complexité progressivement croissante. L’autre direction, moins familière, va, en analysant, vers une abstraction et une simplicité logique de plus en plus grandes.

 

Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy 

La philosophie mathématique, telle que définie par Bertrand Russell, explore les racines des concepts et des principes qui sous-tendent les mathématiques. Contrairement à une approche purement constructive qui bâtit sur des bases connues vers une complexité croissante, la philosophie mathématique s’aventure dans une quête d’abstraction et de simplicité. Elle cherche à comprendre non pas seulement ce que l’on peut construire à partir d’hypothèses données, mais quels principes fondamentaux et idées générales permettent de poser ou de déduire ces hypothèses de départ.  

Russell illustre cette démarche par l’évolution de la géométrie dans l’Antiquité grecque : le passage des techniques empiriques d’arpentage à des théories géométriques universelles représente la transition de l’application pratique à la réflexion philosophique sur les fondements de la science mathématique.

Cette approche double, à la fois analytique et constructive, caractérise la philosophie mathématique : elle vise à dégager les principes les plus élémentaires et les plus généraux qui fondent notre compréhension des mathématiques.

De Russell à MATHESIS

La Philosophie Mathématique de Bertrand Russell nous invite à une démarche analytique remontant aux origines des concepts et principes mathématiques. Cette approche orientée vers une simplification et une abstraction croissantes implique cependant une intégration des connaissances mathématiques sur des bases nouvelles : l’identification des concepts et principes premiers mène naturellement à une restructuration du savoir mathématique.

C’est pourquoi notre Philosophie Mathématique consiste en l’extension de celle de Russell par la reconnaissance des « rapports de fondation » – un concept emprunté à Edmund Husserl – qui décrivent les prémisses logiques ou intuitives nécessaires pour construire d’autres concepts ou principes mathématiques, et forment la base linéaire d’une cartographie conceptuelle de l’édifice mathématique.

Exemple de rapport de fondation
La notion de fonction numérique différentiable de plusieurs variables réelles met en jeu les notions d’application linéaire et de limite d’une telle fonction en un point. Il faut donc s’appuyer sur des éléments d’algèbre linéaire et de topologie des espaces réels pour construire le calcul différentiel traditionnel.

Cette structure ne saurait toutefois être complète sans considérer les « rapports de transversalité », qui révèlent des connexions fécondes et des correspondances créatives entre des concepts et principes mathématiques logiquement indépendants. L’identification de ces relations transversales ajoute une dimension supplémentaire à l’ordre conceptuel des mathématiques, soulignant une interdépendance riche et complexe entre leurs différentes branches.

Exemple de rapport de transversalité
Le déterminant et le produit scalaire de deux vecteurs dans le plan sont définis indépendamment du cosinus et du sinus d’un angle de vecteurs. Mais le déterminant de deux vecteurs unitaires est le sinus de l’angle qu’il définissent, et leur produit scalaire et le cosinus de l’angle. On peut en tirer les expressions trigonométriques fondamentales de ces deux grandeurs algébriques.

Ainsi, notre Philosophie Mathématique s’élève au-delà de la recherche des principes premiers pour embrasser une intégration conceptuelle de la science mathématique. Fondée sur la théorie des ensembles, cette approche vise à unifier les mathématiques sous un langage commun, dans l’objectif d’en construire une compréhension naturelle, intégrée et transversale, à travers une exploration logique et intuitive des concepts, et de leurs rapports de fondation et de transversalité.

Les premiers géomètres grecs, passant des règles empiriques aux propositions générales, et de là aux axiomes et postulats d’Euclide, se livraient à la philosophie mathématique.

Bertrand Russell

La Philosophie Mathématique comme principe de notre Encyclopédie

Notre Encyclopédie MATHESIS::Essentiel incarne notre ambition de créer une synthèse évolutive des connaissances mathématiques fondamentales, en sélectionnant les éléments constitutifs d’un noyau théorique des mathématiques pour les organiser selon une structure respectueuse de l’intuition et de la rigueur logique. Cette démarche ne cherche pas à accumuler des savoirs de manière extensive, mais à établir une architecture de connaissances qui reflète un ordre naturel et une interconnexion profonde entre les différentes branches des mathématiques.

Fondée sur notre Philosophie Mathématique, MATHESIS::Essentiel est guidée par une approche qui privilégie la généalogie des concepts et principes mathématiques, basée sur leur intuition originelle et leur articulation logique naturelle. Par l’exploration de leurs rapports de fondation et de transversalité, nous visons une présentation intégrée et transversale de l’univers mathématique, faisant de l’Encyclopédie un outil vivant pour une exploration unifiée et approfondie des mathématiques, et un guide méthodologique pour la transmission d’une compréhension holistique de la science de l’infini.

Apprendre les Mathématiques

Avec MATHESIS, l’apprentissage des mathématiques à travers la Philosophie Mathématique offre une approche profondément intuitive et unifiée. En nous appuyant sur ses principes, nous abordons les mathématiques non pas comme une série isolée de théorèmes, de techniques et de formules, mais comme un tissu cohérent de concepts et de principes interconnectés. Cette perspective met en lumière les fondements et les relations logiques et intuitifs des mathématiques, facilitant ainsi une compréhension profonde et durable. Les étudiants apprennent à reconnaître les structures sous-jacentes qui lient les différents domaines des mathématiques, favorisant une vision d’ensemble qui transcende les frontières traditionnelles entre les sujets.

Notre Encyclopédie MATHESIS::Essentiel, en tant que réalisation concrète de la Philosophie Mathématique, sert de support éducatif exemplaire, guidant les apprenants à travers un voyage structuré dans l’univers des mathématiques. En utilisant MATHESIS::Essentiel comme référence, ceux-ci explorent les mathématiques à partir de leurs principes fondamentaux, progressant vers des concepts de plus en plus complexes de manière naturelle et intuitive. Cette approche, qui allie rigueur et exploration, prépare idéalement les étudiants à aborder des problèmes mathématiques avancés et à intégrer leurs connaissances dans une perspective large et interdisciplinaire.

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