Les nombres entiers naturels premiers sont sont ceux qui n’ont pas d’autres diviseurs que 1 et eux-mêmes. Ils existent en nombre infini par le théorème d’Euclide, qui n’est pas difficile à démontrer.

1.Les nombres premiers

Diviseurs et nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier naturel non nul (voir Qu’est-ce qu’un nombre entier naturel ? Définir ou axiomatiser) \(p\) différent de \(1\) dont les seuls diviseurs sont \(1\) et \(p\) lui-même. Mais qu’est-ce qu’un diviseur ? Un diviseur d’un nombre entier naturel \(n\) est un entier naturel \(d\) tel que \(d\) divise \(n\)… c’est-à-dire tel que \(n\) est un multiple de \(d\). Autrement dit, un diviseur \(d\) d’un entier naturel \(n\) est un nombre possédant la propriété que « \(d\) multiplié par un certain nombre \(k\) vaut \(n\) ». Mathématiquement, cela s’exprime rigoureusement par « il existe un entier naturel \(k\) tel que \(n=d\times k\) ». Un nombre premier, c’est donc un nombre entier naturel non \(p\neq 1\) pour lequel il n’existe pas d’autre décomposition de \(p\) sous la forme d’un produit \(d\times k\), que les décompositions dites « triviales » que sont \(p=1\times p\) et \(p=p\times 1\).

Tester si un nombre est premier

Parmi les premiers nombres premiers, on pourrait citer \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), \(19\)… Pour savoir que ces nombres sont premiers, il faut pouvoir le démontrer; c’est possible en effectuant par exemple des divisions euclidiennes. En général, il existe un critère pour tester si un nombre \(n\) est premier : s’il n’est pas premier, il existe un diviseur de \(n\) qui est un nombre premier \(p\) (ce qu’on appelle un facteur premier) et qui est inférieur à \(\sqrt n\). Par savoir si un nombre \(n\) donné est premier, il suffit donc de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers \(p\) déjà connus et inférieurs à \(\sqrt n\). Si aucun de ceux-ci ne divise \(n\), alors \(n\) est premier ! Par exemple, pour savoir si \(97\) est premier, on remarque que \(9^2=81<97<10^2=100\), donc \(9<\sqrt{97}<10\) : on teste les nombres premiers entre \(1\) et \(9\), soit \(2,3,5\) et \(7\) et aucun ne divise \(97\) : celui-ci est donc premier.

Les neuf premiers nombres premiers tels qu’ils se répartissent sur la spirale d’Ulam.

2.Le théorème d’Euclide

L’ensemble des nombres premiers est infini

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