1.L’intuition des nombres rationnels

Les nombres rationnels, c’est-à-dire « fractionnaires », comme \(-\frac 1 2, \frac{27}{4}, \frac{312}{-6783},\ldots\), forment un ensemble intuitif qu’on note \(\mathbb Q\). C’est une extension de l’ensemble \(\mathbb Z\) des nombres entiers relatifs (voir Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ?). On y a ajouté à ces derniers des inverses à chaque nombre non nul pour la multiplication : autrement dit, pour tout entier relatif \(n\neq 0\), un nombre rationnel \(\frac 1 n\) tel que \(n\times \frac{1}{n}=1\). Tout nombre rationnel \(\frac a b\) non nul (c’est-à-dire pour lequel \(a\neq 0\)) possède en fait un inverse \(\frac b a\) pour la multiplication, ce qui permet de diviser tout nombre rationnel \(\frac a b\) par un autre nombre rationnel non nul \(\frac c d\) : le résultat est \(\frac a b / \frac c d=\frac{ad}{bc}\).

Dans l’ensemble \(\mathbb Q\) on peut prolonger les opérations usuelles \(+\) et \(\times\) entre les entiers relatifs, ainsi que la relation \(<\) d’ordre strict qui permet de les comparer. Les propriétés élémentaires de l’addition et de la multiplication s’y prolongent, ainsi que la propriété de distributivité de la multiplication sur l’additon : si \(p,q,r\) sont trois nombres rationnels, on a toujours l’égalité \(p\times (q+r)=p\times q+p\times r\). Toutefois, comme tout nombre rationnel est divisible par tout nombre rationnel non nul, les questions d’arithmétique telles qu’elles se posent dans l’ensemble \(\mathbb Z\) ne se posent plus dans l’ensemble \(\mathbb Q\) ! Mais grâce à la possibilité d’effectuer toutes les divisions, on peut aborder ces questions différemment, notamment via la théorie des valuations. Notons que si certaines propriétés de \(<\) se prolongent de \(\mathbb Z\) à \(\mathbb Q\), notamment sa « compatibilité » à \(+\) et \(\times\),  l’ordre naturel entre nombres rationnels possède la propriété dite de densité. Cela signifie que si \(q,r\) sont des nombres rationnels avec \(q<r\), on peut toujours trouver un nombre rationnel \(s\) tel que \(q<s<r\), par exemple \(\frac{q+r}{2}\), ce qui n’est évidemment pas le cas dans \(\mathbb Z\).

Le nombre rationnel \(s=-\frac{991}{1887}\), qui représente le milieu du segment \([q,r]\), est strictement compris entre les nombres rationnels \(q=\frac{-54}{17}\) et \(r=\frac{236}{111}\).

2.Construire les nombres rationnels

Comme on le fait pour les entiers relatifs à partir des entiers naturels et d’une relation d’équivalence, plutôt que de décrire l’ensemble \(\mathbb Q\) par des axiomes il est possible de construire cet ensemble, à partir cette fois de l’ensemble \(\mathbb Z\) des entiers relatifs. Par analogie avec la construction de \(\mathbb Z\) (revoir Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ?), on représente les nombres rationnels par des couples d’entiers relatifs. Le couple \((a,b)\) figure « l’opération » \(a/b\) de division de \(a\) par \(b\). Puisqu’on ne peut pas diviser par un nombre non nul, il faut cependant exclure le cas où \(b=0\), donc on considère tous les couples \(a,b\) d’entiers relatifs pour lesquels \(b\neq 0\), lesquels forment un ensemble qui s’écrit savamment \(\mathbb Z\times \mathbb Z^*\).  

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