L’intuition des nombres rationnels

Les nombres rationnels, c’est-à-dire « fractionnaires », comme \(-\frac 1 2, \frac{27}{4}, \frac{312}{-6783},\ldots\), forment un ensemble intuitif qu’on note \(\mathbb Q\). C’est une extension de l’ensemble \(\mathbb Z\) des nombres entiers relatifs (voir Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ?). On y a ajouté à ces derniers des inverses à chaque nombre non nul pour la multiplication : autrement dit, pour tout entier relatif \(n\neq 0\), un nombre rationnel \(\frac 1 n\) tel que \(n\times \frac{1}{n}=1\). Tout nombre rationnel \(\frac a b\) non nul (c’est-à-dire pour lequel \(a\neq 0\)) possède en fait un inverse \(\frac b a\) pour la multiplication, ce qui permet de diviser tout nombre rationnel \(\frac a b\) par un autre nombre rationnel non nul \(\frac c d\) : le résultat est \(\frac a b / \frac c d=\frac{ad}{bc}\).

Dans l’ensemble \(\mathbb Q\) on peut prolonger les opérations usuelles \(+\) et \(\times\) entre les entiers relatifs, ainsi que la relation \(<\) d’ordre strict qui permet de les comparer. Les propriétés élémentaires de l’addition et de la multiplication s’y prolongent, ainsi que la propriété de distributivité de la multiplication sur l’additon : si \(p,q,r\) sont trois nombres rationnels, on a toujours l’égalité \(p\times (q+r)=p\times q+p\times r\). Toutefois, comme tout nombre rationnel est divisible par tout nombre rationnel non nul, les questions d’arithmétique telles qu’elles se posent dans l’ensemble \(\mathbb Z\) ne se posent plus dans l’ensemble \(\mathbb Q\) ! Mais grâce à la possibilité d’effectuer toutes les divisions, on peut aborder ces questions différemment, notamment via la théorie des valuations. Notons que si certaines propriétés de \(<\) se prolongent de \(\mathbb Z\) à \(\mathbb Q\), notamment sa « compatibilité » à \(+\) et \(\times\),  l’ordre naturel entre nombres rationnels possède la propriété dite de densité. Cela signifie que si \(q,r\) sont des nombres rationnels avec \(q<r\), on peut toujours trouver un nombre rationnel \(s\) tel que \(q<s<r\), par exemple \(\frac{q+r}{2}\), ce qui n’est évidemment pas le cas dans \(\mathbb Z\).

Le nombre rationnel \(s=-\frac{991}{1887}\), qui représente le milieu du segment \([q,r]\), est strictement compris entre les nombres rationnels \(q=\frac{-54}{17}\) et \(r=\frac{236}{111}\).

Construire les nombres rationnels

Comme on le fait pour les entiers relatifs à partir des entiers naturels et d’une relation d’équivalence, plutôt que de décrire l’ensemble \(\mathbb Q\) par des axiomes il est possible de construire cet ensemble, à partir cette fois de l’ensemble \(\mathbb Z\) des entiers relatifs. Par analogie avec la construction de \(\mathbb Z\) (revoir Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ?), on représente les nombres rationnels par des couples d’entiers relatifs. Le couple \((a,b)\) figure « l’opération » \(a/b\) de division de \(a\) par \(b\). Puisqu’on ne peut pas diviser par un nombre non nul, il faut cependant exclure le cas où \(b=0\), donc on considère tous les couples \(a,b\) d’entiers relatifs pour lesquels \(b\neq 0\), lesquels forment un ensemble qui s’écrit savamment \(\mathbb Z\times \mathbb Z^*\).  

Comme pour la construction de l’ensemble \(\mathbb Z\), plusieurs couples peuvent définir la même « division » ou la même « fraction ». Le calcul sur les fractions nous dit en effet que les fractions \(\dfrac a b\) et \(\dfrac c d\) sont égales lorsque précisément \(a\times d=b\times c\). Il nous faut donc ici aussi identifier les couples qui représentent la même fraction. Deux couples \((a,b)\) et \((c,d)\) sont dits équivalents lorsque \(a\times d=b\times c\), et une classe d’équivalence est un ensemble de couples tous équivalents à un même couple. L’ensemble \(\mathbb Q\) est alors défini comme l’ensemble de ces classes d’équivalence, ce qu’on appelle aussi un « quotient de l’ensemble \(\mathbb Z\times \mathbb Z^*\) ». La classe d’équivalence du couple \(a,b\) est alors notée \(\dfrac a b\), notation qui désigne désormais un ensemble, lui-même un élément de \(\mathbb Q\) tel que nouvellement construit ! C’est le nombre rationnel défini par le couple \((a,b)\).

On peut représenter les nombres rationnels comme les droites du plan passant par l’origine et un des noeuds du plan (points à coordonnées entières), en exceptant la droite que représente l’axe des abscisses (en noir). Plusieurs noeuds du plan (couples d’entiers équivalents) définissent le même nombre rationnel, en particulier les points opposés (exemple de la droite en bleu).

Une extension naturelle de l’ensemble \(\mathbb Z\)

Grâce à cette représentation des nombres rationnels, on peut considérer tout entier relatif \(n\) comme une fraction, à savoir \(\frac n 1\), la classe d’équivalence du couple \((n,1)\). Comme pour les entiers relatifs, le nombre \(n\) est aussi représenté par le couple \((na,a)\) pour tout entier relatif \(a\neq 0\). En effet, par définition, les couples \((n,1)\) et \((na,a)\) sont équivalents, puisque \(n\times a=na\times 1\), ce qui signifie que leurs classes sont les mêmes, dont que les fractions \(\frac n 1\) et \(\frac{na}{a}\) sont égales. 

Si on considère désormais l’ensemble \(\mathbb Q\) comme l’ensemble de ces classes d’équivalence de couples de nombres entiers relatifs, on peut prolonger l’addition des entiers relatifs par \(\frac a b+\frac c d=\frac{ad+bc}{bd}\) et leur multiplication par \(\frac a b\times \frac c d=\frac{ac}{bd}\). Le « zéro » de l’addition est la fraction (la classe) \(\frac 0 1\), qui est égale à \(\frac 0 n\) pour tout \(n\neq 0\), et le « un » de la multiplication est la fraction \(\frac 1 1\), qui est égale à \(\frac n n\) pour tout \(n\neq 0\). La soustraction de deux nombres rationnels \(\frac a b\) et \(\frac c d\) est alors définie comme \(\frac a b -\frac c d=\frac{ad-bc}{bd}\). On peut aussi prolonger l’ordre \(<\) entre entiers relatifs en décrétant d’abord que \(\frac a b>0\) si et seulement si \(ab>0\) et que \(\frac a b<\frac c d\) si et seulement si \(\frac c d-\frac a b >0\). 

Retrouver l’ensemble \(\mathbb Q\)

De cette manière, les propriétés élémentaires usuelles de \(+\), \(\times\) et \(<\) se prolongent de l’ensemble \(\mathbb Z\) à l’ensemble \(\mathbb Q\) ainsi construit. L’intérêt de la construction apparaît alors dans la possibilité de trouver un inverse multiplicatif pour tout nombre rationnel non nul \(\frac a b\). Pour un tel nombre, le numérateur \(a\) n’est pas nul, donc on peut aussi considérer la fraction \(\frac b a\), et par définition de la multiplication on peut écrire \(\frac a b\times \frac b a =\frac{a\times b}{b\times a}=\frac 1 1=1\) dans \(\mathbb Q\). On pourrait aussi démontrer à partir de la construction toutes les propriétés particulières intuitives de \(\mathbb Q\).

Enfin si on garde également en tête la construction de \(\mathbb Z\) à partir de \(\mathbb N\), avec deux étapes nous avons construit l’ensemble \(\mathbb Q\) à partir de l’ensemble \(\mathbb N\) (ajouter les opposés pour l’addition, puis ajouter les inverses pour la multiplication). On peut en fait suivre ces deux étapes dans l’autre sens. On commencerait par construire toutes les fractions de la forme \(\frac a b\) pour \(a\) et \(b\) des entiers naturels cette fois-ci, c’est-à-dire faire la même chose qu’ici en remplaçant \(\mathbb Z\) par \(\mathbb N\). A l’issue de cette première construction on aboutirait à l’ensemble \(\mathbb Q_+\) des nombres rationnels positifs seulement, et alors il faudrait ajouter les opposés pour l’addition comme on l’a fait pour \(\mathbb Z\) à partir de \(\mathbb N\) ! Le résultat serait « formellement différent » (deux ensembles différents en tant que tels) mais « essentiellement le même » du point de vue mathématique, c’est-à-dire aboutissant à décrire la même « structure » \(\mathbb Q\) des nombres rationnels.

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Pour aller plus loin

Retrouvez la théorie élémentaires des nombres entiers, naturels et relatifs, et des nombres rationnels, dans Mathesis I.3 : Arithmétique élémentaire.