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Les corps finis : une approche structurelle de l’arithmétique

Les corps sont les anneaux dont tout élément non nul est inversible. Tous les anneaux intègres finis sont des corps, et tous ces corps finis sont commutatifs. Avec un peu d’algèbre commutative, on peut même décrire entièrement tous les corps finis, qui correspondent aux nombres primaires, c’est-à-dire aux puissances non nulles des nombres premiers.

1. Les corps finis comme anneaux

1.1. Rappel : les anneaux

Rappelons qu’un anneau (voir Anneaux, homomorphismes et quotients) est un ensemble \(A\), contenant un élément distingué noté \(0\), et sur lequel sont définis une addition (opération binaire notée \(+\)) et une multiplication (opération binaire notée \(\times\)), vérifiant les propriétés intuitives naturelles suivantes, pour tous éléments \(a,b,c\) de \(A\) :
i) \(a+b=b+a\) (on dit l’addition est commutative)
ii) \(0+a=a+0=a\) (on dit que \(0\) est « l’élément neutre » de l’addition)
iii) Il existe un élément (unique) \(-a\) tel que \(a+(-a)=(-a)+a=0\)
iv) \(a\times (b+c)=a\times b+a\times c\) et \((b+c)\times a=b\times a+c\times a\) (on dit que la multiplication est « distributive sur l’addition ».

Lorsque \(a\times b=b\times a\) pour tous éléments $a,b$ de l’anneau $A$, on dit que la multiplication est commutative, et qu’on a un anneau commutatif. De plus, s’il existe un élément distingué \(1\) de \(A\) tel que \(1\times a=a\times 1=a\), on dit que \(A\) est unitaire.

1.2. Anneaux intègres et corps

On dit qu’un anneau \(A\) non nul (c’est-à-dire contenant un élément différent de \(0\)) est intègre si pour tous \(a,b\in A\) dont le produit \(ab\) est nul, alors \(a\) est nul ou \(b\) est nul. On dit qu’un anneau unitaire \(A\) non nul est un corps si tout élément non nul \(a\) est inversible, autrement dit s’il existe \(b\in A\) tel que \(a\times b=b\times a=1\). Ainsi, tout corps \(K\) est un anneau intègre, puisque si $a,b\in K$ et $a\neq 0$, alors il existe un inverse $a^{-1}$ pour $a$, de sorte que si $ab=0$, on a $b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=0$.

Exemple 2
Les ensembles \(\mathbb R\) des nombres réels et \(\mathbb C\) des nombres complexes sont des corps commutatifs, l’ensemble \(\mathbb H\) des quaternions est un corps non commutatif.

Mais en général, tout anneau unitaire intègre n’est pas un corps : par exemple, l’ensemble \(\mathbb Z\) des entiers relatifs est intègre, mais ses seuls éléments inversibles sont \(1\) et \(-1\). Cependant, si \(A\) est un anneau commutatif unitaire, il existe un « meilleur » corps (c’est-à-dire un plus petit), commutatif, qui contient \(A\), son corps de fractions, l’ensemble \(Fr(A)\) de tous les quotients \(a/b\) avec \(a,b\in A\) et \(b\neq 0\). Par exemple, \(\mathbb Q\) est le corps des fractions de \(\mathbb Z\).

1.3. Corps finis

Les exemples naturels d’anneaux et de corps donnés ici et dans Anneaux, homomorphismes et quotients (op. cit.) sont presque tous liés à l’arithmétique. Les anneaux commutatifs et les corps finis, c’est-à-dire qui sont finis en tant qu’ensembles, sont généralement associés à la théorie des nombres. Rappelons une propriété très particulière des ensembles finis : toute application injective \(f:E\hookrightarrow E\) d’un tel ensemble dans lui-même est toujours surjective (et donc bijective). En ce qui concerne les anneaux intègres, sur lesquels nous nous concentrerons ici, on en tire facilement la proposition suivante :

Proposition 1
Tout anneau unitaire intègre et fini est un corps.

Démontrons-le : si \(A\) est un anneau unitaire intègre et fini, soit \(a\) un élément non nul de \(A\). On considère l’application \(f:A\to A\) de « multiplication par \(a\) », qui associe à un élément quelconque \(b\) de \(A\) le produit \(f(b)=a\times b\) (on ne suppose pas ici que la multiplication est commutative). Supposons que \(a.b=a.b’\) : on a donc \(a.(b-b’)=0\), par distributivité de \(\times\) sur \(+\), soit \(b-b’=0\), puisque \(a\neq 0\) et \(A\) est intègre. Ainsi, on a \(b=b’\), ce qui montre que l’application \(f\) est injective ! Puisque \(A\) est fini, \(f\) est surjective donc il existe \(b\in A\) tel que \(f(b)=1\), autrement dit \(a.b=1\), donc \(A\) est un corps.

Ainsi, en ce qui concerne les anneaux unitaires intègres, ceux qui « ressemblent » au prototype \(\mathbb Z\) des anneaux de nombres et qui sont finis, sont déjà tous des corps ! Une autre singularité des corps finis est le

Théorème 1 (Wedderburn)
Tout corps fini est commutatif.

La démonstration de ce théorème est plus difficile ! Ici aussi, la « finitude » simplifie beaucoup la théorie, contrairement au cas infini où il existe de nombreux corps non-commutatifs, dont la théorie est beaucoup plus complexe.

2. Structure des corps premiers

Résumons : la structure d’anneau intègre est essentiellement liée à l’arithmétique, et nous nous concentrons ici sur l’anneau $\mathbb Z$ et les anneaux intègres finis : nous sommes ramenés par la proposition 1 et le théorème 1 à considérer les corps finis, qui sont tous commutatifs.

2.1. Les corps premiers

Un anneau intègre, c’est un anneau dans lequel \(0\) se comporte comme un nombre premier. En effet, dire que \(ab=0\Rightarrow a=0\) ou \(b=0\), c’est dire que si \(ab\) est un multiple de \(0\), alors \(a\) ou \(b\) est un multiple de zéro. Considérons alors un entier naturel $n$ non nul : l’ensemble \(\mathbb Z_n\) des restes dans la division euclidienne par \(n\) (voir Division euclidienne et arithmétique modulaire) est un anneau fini, isomorphe à l’anneau quotient $\mathbb Z/n\mathbb Z$ par [Anneaux, homomorphismes et quotients, Exemple 9]. Un tel anneau est intègre, et donc un corps fini, si et seulement si \(n\) est premier. On appelle corps premiers tous les corps finis de la forme \(\mathbb Z_p\) (ou $\mathbb Z/p\mathbb Z$ si l’on préfère), où \(p\) est un nombre premier, et on note \(\mathbb F_p\) un tel corps. Par abus de langage, on appellerait aussi corps premier le corps \(\mathbb Q\) des nombres rationnels, qui est en quelque sorte le corps des fractions de $\mathbb Z/0\mathbb Z$, isomorphe à $\mathbb Z$, ensemble des « restes dans la division euclidienne par zéro » (laquelle, bien sûr, n’est pas possible…).

2.2. La caractéristique d’un corps

Une autre manière de comprendre les corps premiers consiste à considérer la caractéristique des corps. Nous avons introduit dans Anneaux, homomorphismes et quotients la caractéristique d’un anneau unitaire $A$ comme l’unique entier naturel $b$ tel que $b\mathbb Z$ est le noyau de l’unique homomorphisme $\chi:\mathbb Z\to A$. Ainsi, si $p$ est un nombre premier, la caractéristique du corps premier $\mathbb F_p$ est $p$, tandis que la caractéristique du corps $\mathbb Q$ est $0$. Etant maintenant donné un corps quelconque $K$, si $\chi:\mathbb Z\to K$ est son homomorphisme caractéristique et $I=b\mathbb Z$ son noyau, l’image de $\chi$ est un anneau intègre isomorphe à $\mathbb Z/b\mathbb Z$, donc soit $b$ est premier, soit $b=0$ (PREC). Autrement dit, si $\chi(\mathbb Z)$ est fini, c’est une copie d’un corps premier de la forme $\mathbb F_p$ et la caractéristique de $K$ est $p$, tandis que s’il est infini, c’est une copie de l’anneau $\mathbb Z$, et le corps $K$ contient le corps premier $\mathbb Q$, sa caractéristique est $0$. Il existe donc une infinité de corps de chaque caractéristique.

Exemple 3
i) Les corps $\mathbb R$, $\mathbb C$ et $\mathbb H$ sont de caractéristique nulle, puisqu’ils « contiennent » tous le corps premier $\mathbb Q$.
ii) Les corps de la forme $\mathbb F_p(X)$, corps de fractions rationnelles (quotients de polynômes) à coefficients dans $\mathbb F_p$ pour $p$ premier, sont de caractéristique $p$, puisqu’ils contiennent tous les corps premiers $\mathbb F_p$ (ensemble des polynômes constants).

Un corps de caractéristique $p$, pour $p$ un nombre premier ou $p=0$, c’est donc un corps $K$ qui contient l’un des corps premiers $\mathbb F_p$ ou $\mathbb Q$

2.3. L’ensemble des racines de $X^p-X$

De nombreux théorèmes d’arithmétique s’interprètent dans le cadre de l’arithmétique modulaire, et en particulier dans les corps premiers finis. Par exemple, le petit théorème de Fermat (voir Nombres premiers entre eux et inversion modulaire) s’énonce ainsi pour les nombres premiers :

Petit théorème de Fermat
Pour tout entier naturel premier $p$ et tout entier relatif $n$, l’entier $m^p$ est congru à $m$ modulo $p$, autrement dit $p$ divise $m^p-m$.

En notant $\oplus$ et $\otimes$ l’addition et la multiplication modulaires dans $\mathbb F_p$ (pour les distinguer de leurs contreparties dans $\mathbb Z$), ce théorème se traduit en disant que pour tout élément $m$ du corps $\mathbb F_p$, on a $m^p=m$, où ici $m^p=m\otimes \ldots \otimes m$, produit de $m$ par lui-même $p$ fois dans $\mathbb F_p$. En utilisant la théorie des polynômes, ceci se reformule à nouveau en disant que tout élément de $\mathbb F_p$ est solution de l’équation $x^p-x=0$, c’est-à-dire racine du polynôme $X^p-X$, considéré comme polynôme à coefficients dans $\mathbb F_p$. Soit alors $K$ un corps de caractéristique $p$ : puisqu’on peut considérer $\mathbb F_p$ comme « contenu » dans $K$, le polynôme $X^p-X$ a aussi ses coefficients dans $K$. Or, la théorie générale des polynômes nous dit qu’un polynôme de degré $n$ à coefficients dans un anneau intègre $A$ possède au plus $n$ racines dans $A$. Mais nous avons déjà trouvé $p$ racines du polynôme $X^p-X$ dans $K$, tous les éléments de $\mathbb F_p$ ! Ainsi, le corps premier $\mathbb F_p$ peut toujours être caractérisé de la manière suivante :

Théorème 2
Si $p$ est un entier naturel premier, pour tout corps $K$ de caractéristique $p$ l’ensemble des racines du polynôme $X^p-X$ dans $K$ est (une copie de) le corps premier $\mathbb F_p$.

3. La structure des corps finis

Nous avons élucidé la « nature » des corps finis premiers. Rien n’exclut qu’il existe d’autres corps finis, et c’est en fait le cas : nous allons en élucider la structure en suivant la même idée, à savoir en les décrivant comme ensembles de racines d’un polynôme particulier. Pour cela, notons que si K est un tel corps, puisqu’il est fini il est de caractéristique $p$, pour un nombre $p$ premier, donc il contient une « copie » du corps premier $\mathbb F_p$.

3.1. Corps algébriquement clos

Rappelons le théorème fondamental de l’algèbre : tout polynôme $P(X)=X^n+a_1X^{n-1}+\ldots+a_{n-1}X+a_n$ non-constant (c’est-à-dire avec $n\geq 1$) et à coefficients $a_i$ dans l’ensemble $\mathbb C$ des nombres complexes, possède une racine dans $\mathbb C$ (autrement dit, l’équation $x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n=0$ possède une solution dans $\mathbb C$). On dit que $\mathbb C$ est algébriquement clos, comme tout corps commutatif $K$ qui possède la même propriété, à savoir que tout polynôme non-constant $P(X)=X^n+a_1X^{n-1}+\ldots+a_{n-1}X+a_n$ (avec ses coefficients dans $K$) possède une racine dans $K$, est aussi dit algébriquement clos. Les corps algébriquement clos existent en nombre infini, et possèdent des propriétés arithmétiques et géométriques uniques analogues à celles de l’ensemble $\mathbb C$ des nombres complexes. En particulier, dans un tel corps $K$ les polynômes non-constants de degré $n>0$ possèdent toutes leurs racines (il n’est pas possible de trouver d’autres racines dans un autre corps qui contient $K$), et elles sont au nombre de $n$, si on les compte avec leur multiplicité.

3.2. Clôture algébrique de $\mathbb F_p$

Or, l’ensemble $\mathbb C$ contient le « corps premier » $\mathbb Q$, et il faut savoir que n’importe quel corps commutatif $K$ est contenu dans un corps algébriquement clos. On peut même en choisir un « plus petit » (au sens de l’inclusion), ce qu’on appelle une clôture algébrique de $K$. Ainsi, la clôture algébrique du corps $\mathbb Q$ des nombres rationnels est ce qu’on appelle l’ensemble des « nombres algébriques« , tous les nombres complexes qui sont solution d’une équation polynomiale à coefficients rationnels. Par analogie, si $p$ est un entier naturel premier il existe un corps algébriquement clos $K$ qui contient le corps premier $\mathbb F_p$; on peut en choisir un plus petit, c’est-à-dire une clôture algébrique de $\mathbb F_p$, notons-le $K_p$ pour la suite. On peut alors désormais considérer que $\mathbb F_p$ est un sous-ensemble de $K_p$, et donc que les polynômes à coefficients dans $\mathbb F_p$ ont a fortiori leurs coefficients dans $K_p$.

3.3. Nombres primaires et corps finis

Soit $p$ un nombre premier, et plaçons-nous dans un corps algébriquement clos $K_p$ de caractéristique $p$, c’est-à-dire contenant une « copie » du corps premier $\mathbb F_p$ à $p$ éléments, par exemple dans une clôture algébrique de $\mathbb F_p$. Supposons que $q=p^n$ est une puissance non nulle de $p$, avec donc $n\geq 1$ : un tel nombre est dit primaire. Par le théorème 2, tout élément $x$ de $\mathbb F^p$ vérifie l’équation $x^p=x$, et donc aussi l’équation $x^q=x$, ce qu’on démontre par récurrence sur $n\geq 1$ : pour $n=1$, on a $x^q=x^p=x$, et si la propriété est vraie au rang $n$, c’est-à-dire si $x^{p^n}=x$, on a $x^{p^{n+1}}=x^{p^n.p}=(x^{p^n})^p=x^p$ (par hypothèse de récurrence) $=x$ (puisque $x\in \mathbb F_p$). Ainsi, $\mathbb F_p$ est un sous-ensemble de l’ensemble noté $\mathbb F_q$ des éléments de $K_p$ qui sont solutions de l’équation $x^q-x=0$. Mais puisque $K_p$ est algébriquement clos, le polynôme $X^q-X$ possède exactement $q$ racines dans $K_p$, si bien que l’ensemble $\mathbb F_q$ est de cardinal $q=p^n$. Or, cet ensemble est un corps : $0$ et $1$ sont solutions de $x^q=x$, et si $x,y\in\mathbb F_q$, on a $(x+y)^q=x^q+y^q$ (les coefficients des autres termes du développement s’annulent, étant divisibles par $p$) $=x+y$ et $(x.y)^q=(x^q).(y^q)=x.y$. Cet ensemble est ce qu’on appelle le corps à $q$ éléments, et il est essentiellement unique, au sens où deux « versions » de ce corps sont toujours isomorphes.

Réciproquement, si $\mathbb F$ est un corps fini, il de caractéristique $p$ pour un nombre premier $p$, et par des considérations d’algèbre linéaire, son cardinal ou nombre d’éléments $q$ est nécessairement une puissance de $p$, c’est-à-dire un nombre primaire $q=p^n$ pour $n\geq 1$. A partir d’éléments de théorie des groupes, on peut alors démontrer que les éléments $\mathbb F$ sont toutes les racines du polynôme $X^q-X$. On montre en effet que le groupe multiplicatif, c’est-à-dire l’ensemble $\mathbb F^\times$ des éléments inversibles, de $\mathbb F$, est cyclique, c’est-à-dire engendré par un seul élément. Comme le nombre d’éléments de $\mathbb F^\times$ est $q-1$, par le théorème de Lagrange cela signifie que $x^{q-1}=1$ pour tout élément $x$ non nul de $\mathbb F^\times$, et comme $0^q=0$, on a bien $x^q-x=0$ pour tout élément $x$ de $\mathbb F$ ! Par conséquent, tous les corps finis correspondent aux nombres primaires $q$ et sont essentiellement les ensembles de solutions des équations de la forme $X^q-X=0$. Les corps finis ont notamment des applications significatives en cryptographie.

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