La définition d’un cercle est simple : il s’agit d’un ensemble de points situés à une même distance d’un point donné. Cette distance est appelée le rayon et ce point le centre du cercle.

Le cercle de centre \((-1,-\frac 3 2)\) et de rayon \(\sqrt 6\)

1. Les cercles comme ensembles de solutions d’une équation

Mais qu’est-ce qu’un point, et qu’est-ce qu’une distance ? Si nous en avons une intuition tout-à-fait claire, celle-ci ne suffit pas pour parler de manière rigoureuse de ces choses en mathématique.

Nous avons évoqué dans l’article Le Plan euclidien : géométrique antique et approche analytique comment il est possible de donner un sens précis à la notion de point et à la notion de distance dans le cadre du plan euclidien moderne \(\mathbb R^2\) : grâce à la construction moderne des nombres réels, tout nombre réel positif possède une racine carrée, et deux points \(M\) et \(N\) étant représentés par leurs coordonnées respectives \((x,y)\) et \((t,u)\) dans à l’approche cartésienne de la géométrie, la distance \(d(M,N)\) entre ces deux points est la racine carrée de la somme des carrés des distances entre leurs coordonnées, soit \(d(M,N)=\sqrt{(x-t)^2+(y-u)^2}\), ce qui est une reformulation du théorème de Pythagore.

De ce point de vue, nous avons une description « analytique » parfaitement claire de ce qu’est un cercle dans le plan, à partir de la définition du départ : le cercle \(\mathscr C\) de centre \(I=(a,b)\) et de rayon \(R\) (nombre réel positif) est l’ensemble des points \(M=(x,y)\) du plan \(\mathbb R^2\) tels que la distance \(d(I,M)\) entre \(I\) et \(M\) vaut \(R\), soit, puisque la distance \(d(I,M)\) vaut \(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} \), symboliquement \[\mathscr C=\{(x,y)\in\mathbb R^2 | \sqrt{(x-a)^2+(y-b)}=R\}.\] Comme le nombre \(R\) est positif, on peut alors se passer de la racine carrée pour décrire finalement le cercle \(\mathscr C\) comme l’ensemble \[\mathscr C=\{(x,y)\in \mathbb R^2 | (x-a)^2+(y-b)^2=R^2\},\] ce qui nous donne l’équation typique d’un cercle dans le plan, ici \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) pour le cercle \(\mathscr C\) de centre \(I=(a,b)\) et de rayon \(R\).

Autrement dit, un tel cercle est l’ensemble des solutions \((x,y)\) de cette équation : grâce à la méthode analytique de Descartes, on peut décrire un cercle dans le plan comme un ensemble de solutions d’une équation, de manière analogue à la description d’une droite comme ensemble de solutions d’une équation. Par exemple, le cercle du début a pour équation \((x+1)^2+(y+\frac 3 2)^2=6\).

2. Le cercle trigonométrique : le cosinus et le sinus comme coordonnées angulaires

Or, on dispose au moyen de l’analyse réelle (théorie des fonctions de l’ensemble \(\mathbb R\)) de deux fonctions, le cosinus et le sinus, dites « trigonométriques », et qui nous donnent les coordonnées d’un point du cercle trigonométrique, qui est le cercle de centre \(O=(0,0)\) et de rayon \(1\). En effet, un point \(M=(x,y)\) sur ce cercle est repéré par l’angle qu’il décrit avec l’axe \([0x)\), qu’on mesure comme la longueur (orientée) de l’arc de cercle délimité par le point \(I=(0,1)\) et le point \(M\), ce qu’on appelle la mesure en radians de l’angle \(\widehat{IOM}\). Autrement dit, si la longueur de l’arc \(\overset{\frown}{IM}\) est \(t\), les coordonnées (cartésiennes) du point \(M\) sont \(x=\cos t\) et \(y=\sin t\) : le cosinus et le sinus de l’angle \(t\) sont les projections du point \(M\) sur chaque axe.

Le cercle trigonométrique et les coordonnées d’un point \(M\) sur ce cercle, exprimées comme cosinus et sinus de l’angle \(\widehat{IOM}\) de mesure \(t\) radians

Or, puisque le rayon du cercle trigonométrique vaut \(1\), cela signifie par le théorème de Pythagore que, l’angle déterminé par le point \(M\) étant \(t\), on a l’égalité \(\cos^2 t+\sin^2t=1\). En général, pour tout nombre réel \(t\) cette égalité est vraie et \(\cos t\) et \(\sin t\) sont les coordonnées d’un point du cercle trigonométrique : autrement dit, les couples de nombres réels \((x,y)\) de la forme \(x=\cos t\) et \(y=\sin t\) vérifient l’équation \(x^2+y^2=1\), qui est l’équation du cercle trigonométrique, puisqu’on peut la réécrire sous la forme \((x-0)^2+(y-0)^2=1^2\), ce qui, comme nous l’avons vu, est l’équation du cercle de centre \((0,0)\) et de rayon \(1\). Inversement, tout point \((x,y)\) vérifiant cette équation, est sur le cercle trigonométrique, et est de la forme \(\cos t,\sin t\) comme nous l’avons évoqué, pour un nombre réel \(t\) pris dans l’intervalle \([0,2\pi[=\{x\in \mathbb R | 0\leq t<2\pi\}\).

3. Paramétrer un cercle : passer d’une équation à un tracé

On peut donc adopter une autre approche pour décrire le cercle trigonométrique, c’est-à-dire le décrire par un paramètre, ce qui revient mathématiquement à le « tracer » dans le plan, à l’aide d’une fonction \(f:[0,2\pi[\to \mathbb R^2\) : une fonction est une opération mathématique qui « transforme » un objet en un autre; ici, l’objet transformé est le paramètre \(t\) (un nombre réel supérieur à \(0\) et strictement inférieur à \(2\pi\)), et le résultat de la transformation est le point \(f(t)=\cos t,\sin t\) du plan, qui décrit la « valeur de la fonction \(f\) au point \(t\) ». Quand on fait prendre à \(t\) toutes les valeurs entre \(0\) et \(2\pi\), alors \(f(t)\) prend comme valeurs tous les points du cercle trigonométrique; si on se représente \(t\) comme le « temps », on a conceptualisé le tracé du cercle trigonométrique, par contraste avec sa définition par une équation. On dit qu’on a paramétré ce cercle, que la fonction \(f\) est une paramétrisation du cercle trigonométrique.

En utilisant cette paramétrisation, on peut alors décrire une paramétrisation, un « tracé », de n’importe quel cercle du plan – du moins si son rayon n’est pas nul – en revenant à la description par une équation. Si, comme avant, \(\mathscr C\) est le cercle de centre \(I=(a,b)\) et de rayon \(R>0\), dont l’équation est \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), un point \(M=(x,y)\) est sur \(\mathscr C\) si et seulement si l’équation précédente est vérifiée. Or, cette équation peut se réécrire sous la forme suivante : en divisant par \(R^2\) de chaque côté, elle est équivalente à l’équation \[\left(\dfrac{x-a}{R}\right)^2+\left(\dfrac{y-b}{R}\right)^2=1,\] si bien que le point \(M=(x,y)\) est sur le cercle \(\mathscr C\) si et seulement si le point \((\frac{x-a}{R},\frac{y-b}{R})\) est sur le cercle trigonométrique ! Cela équivaut à ce que \(x=a+R\cos t\) et \(y=a+R\sin t\), si bien qu’on peut « tracer » le cercle \(\mathscr C\) grâce à la paramétrisation \(g:[0,2\pi[\to \mathbb R^2\) définie par \[g(t)=(a+R\cos t,a+R\sin t).\] On pourrait remplacer l’intervalle \([0,2\pi[\) par un autre intervalle, ou changer la « vitesse » du tracé, mais l’essentiel ici est de retenir qu’un cercle du plan peut être défini soit par une équation, soit par un paramètre, et qu’on peut passer d’une description à l’autre. Ce sont les deux manières fondamentales de décrire un objet géométrique.

Pour aller plus loin…

La description d’un cercle comme ensemble de solutions d’une équation ou comme image d’un paramètre fait appel à la méthode dite « analytique » en géométrie, et à la représentation du plan à partir des nombres réels, possibles grâce à la théorie naïve des ensembles. Découvrez l’intérêt de la théorie des ensembles et son rôle essentiel dans la science mathématique en suivant un cours d’initiation offert ici :

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