Les corps finis : une approche structurelle de l’arithmétique
Les corps sont les anneaux dont tout élément non nul est inversible. Tous les anneaux intègres finis sont des corps, et tous ces corps finis sont commutatifs. Avec un peu d’algèbre commutative, on peut même décrire entièrement tous les corps finis, qui...
Nombres premiers entre eux et inversion modulaire
Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux si ils n’ont pas de facteur premier en commun : il sont donc premiers « l’un par rapport à l’autre ». Le nombre des restes modulo un entier naturel non nul $n$ qui sont premiers avec $n$ est ce...
Anneaux, homomorphismes et quotients
Nous étudions la structure mathématique naturelle d’anneau, dont l’ensemble $\mathbb Z$ des entiers relatifs est le prototype, et qui permet d’interpréter de nombreux concepts de la théorie des nombres et de la géométrie, à travers notamment les...
Division euclidienne et arithmétique modulaire
La division des entiers naturels ne donne pas toujours un résultat entier, et la division euclidienne donne une meilleure approximation de ce résultat, sous la forme d’un quotient et d’un reste. On peut définir une addition et une multiplication...
La ramification imaginaire des nombres premiers
Nous savons que les nombres premiers ne demeurent premiers dans l’anneau \(\mathbb Z[i]\) des entiers de Gauss que lorsqu’ils sont sommes de deux carrés. En considérant leurs congruences modulo \(4\), il est possible d’en dire plus : on peut les...Découvrez le e-book « Entrer dans l’Univers Mathématique »
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