Les polynômes à une indéterminée sont des représentations mathématiques des expressions intervenant dans les équations polynomiales. Ils permettent l’application de méthodes algébriques à la résolution de ces équations.

1. Les équations sont des « objets linguistiques »

1.1. Equations polynomiales et systèmes de nombres

Une équation polynomiale est une équation de la forme \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0\), où \(a_0,\ldots,a_n\) sont classiquement des nombres, avec \(a_n\) non nul. De manière informelle, un polynôme est une expression \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\), soit le membre de gauche d’une telle équation. Mais il faut en donner une définition mathématique, afin de pouvoir les manipuler comme objets mathématiques et leur appliquer des propriétés algébriques élémentaires.

Exemple 1
Par exemple, l’équation \(x^2-x-1=0\), dont les coefficients sont \(-1,-1,1\), a pour solutions le nombre d’or \(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\) et le nombre \(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\). L’équation \(x^2+1=0\) n’a pas de solution dans l’ensemble \(\mathbb R\) des nombres réels (voir Qu’est-ce qu’un nombre réel ? La formidable construction de Cauchy), mais possède deux solutions dans l’ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes, les fameux nombres imaginaires \(i\) et \(-i\) (voir Qu’est-ce qu’un nombre complexe ? Une approche géométrique simple). 

Classiquement, les « coefficients » d’une telle équation polynomiale sont pris dans un « système de nombres » : entiers, rationnels, réels, complexes. En fait, pour écrire une telle équation il suffit de disposer d’un ensemble sur lequel sont définis une addition \(+\) et une multiplication \(\times\) ayant des propriétés similaires à celles qu’on trouve dans ces systèmes de nombres. On appelle un tel ensemble un anneau commutatif unitaire (voir Anneaux, homomorphismes et quotients).

1.2. Problème : étudier les solutions en général

Le degré d’une équation polynomiale est l’entier \(n\), c’est-à-dire le plus grand indice d’un coefficient non nul de l’équation, ou encore la puissance maximale de l’inconnue \(x\) apparaissant dans l’équation. On connaît des méthodes pour résoudre les équations de degré \(2\) (en utilisant le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\), comme on l’apprend au lycée), \(3\) et \(4\) et certaines équations de degré \(\geq 5\), dans certains systèmes de nombres. Par exemple, depuis Lagrange on sait qu’une équation du type \(x^3+px+q=0\), avec \(p,q\in\mathbb C\), possède trois solutions, qu’on peut obtenir en extrayant des racines cubiques et en utilisant le nombre complexe \(j=e^{\frac{2i\pi}{3}}=-\dfrac 1 2 +i\dfrac{\sqrt 3}{2}\).

Cependant, il n’existe pas de méthode générique pour résoudre toutes les équations dans tous les anneaux et tous les degrés simultanément. Pour faire une étude théorique des équations polynomiales en général, on considère alors plutôt les polynômes, c’est-à-dire les expressions \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\) elles-mêmes, et toutes les valeurs qu’elles prennent sur chaque élément du système : les « racines » d’un polynôme sont celles pour lesquelles l’expression vaut $0$, autrement dit les solutions de l’équation associée.

Exemple 2
Les nombres \(i\) et \(-i\) sont les racines du polynôme \(x^2+1\) dans l’ensemble \(\mathbb C\) (puisque \(i^2+1=(-i)^2+1=-1+1=0\)) tandis que ce polynôme n’a pas de racines dans l’ensemble \(\mathbb R\) (puisque \(a^2\geq 0 >-1\) pour tout nombre réel \(a\)).

2. Les polynômes sont des objets mathématiques

2.1. Représenter des expressions par des suites

Or, pour étudier de manière systématique les polynômes avec des méthodes mathématiques, il faut que les polynômes soient des objets mathématiques. Nous les avons définis comme des expressions, c’est-à-dire des objets linguistiques. Il nous faut donc les transformer, ou plutôt les représenter comme des objets mathématiques, ce qui est possible grâce aux ressources de la combinatoire élémentaire.

Puisqu’un polynôme est, de manière informelle, une expression de la forme \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\), on va simplement représenter une telle expression, dite « polynomiale », par la suite \(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n\) de ses coefficients, dans l’ordre croissant des indices. Pour des raisons de commodité, on le représente en fait comme une suite infinie d’éléments de $A$, en complétant après le dernier coefficient non nul \(a_n\) par des \(0\). Un polynôme à coefficients dans un anneau \(A\) est donc, de manière rigoureuse, une suite \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) d’éléments de \(A\) dont les termes sont nuls à partir d’un certain « rang ».

Par exemple, l’expression polynomiale \(x+\pi x^3-e x^6\), dont les coefficients sont des nombres réels, est représentée par le polynôme \(0,1,0,\pi,0,0,e,0,\ldots\), à coefficients dans l’anneau \(\mathbb R\) des nombres réels (les coefficients des puissances d’ordres \(0,2,4,5\) sont nuls).

2.2. L’addition des polynômes

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Pour aller plus loin