Le cercle trigonométrique permet de définir le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle orienté, et d’en donner une interprétation à travers les théorèmes de Thalès et de Pythagore.

Introduction : trigonométrie et fonctions

La trigonométrie est l’étude des relations entre les angles et les longueurs des côtés dans le triangle, et par extension des fonctions trigonométriques comme le sinus, le cosinus et la tangente.

Dans cet article, nous proposons une définition du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle orienté à partir du cercle trigonométrique, et une interprétation géométrique naturellement associée aux théorèmes de Thalès et de Pythagore.

1.Le cercle trigonométrique et la représentation circulaire des angles

Unités pratiques et angles orientés

Les unités de mesure pratiques des angles sont le degré et le grade; un angle plein (c’est-à-dire un tour complet) mesure 360 degrés ou 400 grades, un angle plat (c’est-à-dire un demi-tour) mesure 180 degrés ou 200 grades, un angle droit (c’est-à-dire un quart de tour) mesure 90 degrés ou 100 grades.

Nous parlerons ici d’angles orientés. Un tel angle est représenté par deux demi-droites basées en un même point, et sa mesure est considérée comme positive dans le sens direct (c’est-à-dire giratoire ou anti-horaire, sens inverse des aiguilles d’une montre). Quitte à effectuer une translation et une rotation, on peut toujours représenter un tel angle à partir de l’origine du plan, en prenant comme première demi-droite le demi-axe des abscisses positives (voir la figure suivante).

Pour parler de la mesure d’un angle orienté, il faut l’affubler d’un signe. Par exemple, un demi-tour à gauche correspond à un angle de 90 degrés tandis qu’un demi-tour à droite correspond à un angle de -90 degrés.

Représentation d'un angle orienté à partir de l'origine et du semi-axe des abscisses positives
L’angle orienté \(\alpha\) entre les demi-droites \(D_1\) et \(D_2\) est le même que l’angle orienté \(\beta\) entre les demi-droites \(D_1’\) et \(D_2’\), et sa mesure est de 40 degrés. On transporte \(\alpha\) en \(\beta\) par une rotation et une translation, qui déplacent \(M\) en \(O\), \(D_1\) en \(D_1’\), et \(D_2\) en \(D_2’\). La mesure de l’angle orienté entre \(D_2\) ou \(D_1\) (ou entre \(D_2’\) et \(D_1’\)) est -40 degrés.

La mesure des angles en radians

L’unité de mesure mathématique, c’est-à-dire théorique, des angles orientés, est le radian. Un angle plein mesure \(2\pi\) radians, un angle plat \(\pi\) radians, et un angle droit \(\pi/2\) radians.

A quoi correspond cette façon de mesurer les angles, autrement dit à quoi correspond cette unité de mesure ?

La mesure des angles en radians, positive ou négative si nous parlons d’angles orientés, est relative à la représentation des angles sur le cercle de centre \((0,0)\) et de rayon \(1\) (voir Tracer un cercle sur le plan : équations et paramètres), qu’on appelle cercle trigonométrique.

Un angle orienté entre deux demi-droites étant rapporté à l’origine du plan euclidien et au demi-axe des abscisses positives, la première demi-droite identifiée avec la partie positive de l’angle des abscisses, on considère l’intersection de la seconde demi-droite avec le cercle trigonométrique.

Cette intersection est un point du plan, qui détermine l’extrémité d’un arc de cercle basé au point \((1,0)\) et noté \(I\). Par définition, la mesure de l’angle, en radians, est la longueur de cet arc de cercle, affublée d’un signe selon l’orientation de l’angle (soit selon que l’arc est parcouru dans le sens direct ou le sens indirect).

Ainsi, la mesure du périmètre du cercle trigonométrique est \(2\pi\), mesure de l’angle plein direct; celle de l’angle plat direct est \(\pi\) et celle de l’angle droit direct est \(\pi/2\).

Mesure d'un angle orienté en radians
Le cercle \(\mathscr C\) est le cercle trigonométrique, centrée en \(O=(0,0)\) et de rayon \(1\). L’angle orienté \(\alpha\) est représenté par l’axe des abscisses positives (la demi-droite \([OI)\)) et la demi-droite \(D_1\), et sa mesure en radians est donc la longueur de l’arc (orienté) \(\overset{\frown}{IM}\), soit ici \(2\pi/9\). L’angle \(\beta\), orienté dans l’autre sens, est représenté par la demi-droite \([OI)\) et la demi-droite \(D_2\), et sa mesure en radians est donc la longueur de l’arc orienté \(\overset{\frown}{IN}\), affublée d’un signe négatif, soit ici \(-23\pi/180\).

2.Les fonctions trigonométriques des angles

Les coordonnées circulaires

Ainsi, un angle orienté peut toujours être représenté par un point du cercle trigonométrique, grâce à un point placé sur ce cercle.

Or, en considérant les coordonnées de ce point (voir Le Plan euclidien : géométrie antique et approche analytique), c’est-à-dire en projetant ce point sur l’axe des abscisses d’une part, sur l’axe des ordonnées d’autre part, on obtient deux nombres réels, qui sont les coordonnées du point, et que nous appellerons les coordonnées circulaires de l’angle de départ.

La première coordonnée circulaire de l’angle, obtenue comme abscisse du point qu’il détermine sur le cercle trigonométrique, est appelée le cosinus de l’angle. On note \(\cos\alpha\) le cosinus d’un angle orienté \(\alpha\).

La seconde coordonnée circulaire de l’angle, obtenue comme ordonnée du point qu’il détermine sur le cercle trigonométrique, est appelée le sinus de l’angle. On note \(\sin\alpha\) le sinus d’un angle orienté \(\alpha\).

Il faut bien noter que le cosinus et le sinus sont définis ici pour un angle orienté et non pour un nombre réel ! Il s’agit donc des coordonnées circulaires d’une grandeur géométrique, et pas du cosinus et du sinus d’un nombre réel, qui sont fondamentalement associés au cosinus et au sinus d’un angle, mais sont associés à des grandeurs numériques.

Cosinus et sinus d'un angle orienté
L’angle \(\alpha\) formé par le demi-axe des abscisses positives et la droite \(D_1\) est représenté par le point d’intersection \(M\) de cette droite avec le cercle trigonométrique \(\mathscr C\). Les coordonnées du point \(M\) sont par définition le cosinus de l’angle \(\alpha\) (abscisse \(\cos\alpha\) de \(M\)) et le sinus de l’angle \(\alpha\) (ordonnée \(\sin\alpha\) de \(M\)).

Fonctions trigonométriques

Il ne faut pas confondre le cosinus et le sinus d’un angle (objet géométrique) avec le cosinus et le sinus d’un nombre réel, à savoir les fonctions d’une variable réelle, définies pour tout nombre réel \(x\), et notées \(\cos\) et \(\sin\). Il existe toutefois une relation fondamentale entre les deux, qui s’explique de la manière suivante. Si l’on considère la droite verticale tangente au cercle trigonométrique au point \(I\), c’est-à-dire la droite d’équation \(x=1\), alors on peut imaginer « enrouler » cette droite autour du cercle trigonométrique, dans le sens trigonométrique (anti-horaire). Autrement dit, les points de la droite situés dans le demi-plan supérieur sont envoyés sur le cercle trigonométrique en commençant au point \(I\), et en reportant sur le cercle la longueur correspondant à l’ordonnée du point dans le sens anti-horaire.

Cette transformation se décrit rigoureusement à partir de ce qu’on peut appeler la fonction exponentielle circulaire, qui associe à un nombre réel \(t\), représentant l’ordonnée d’un point sur la droite tangente, le nombre complexe \(\exp(it)\), représentant le point du cercle trigonométrique correspondant. Cette fonction apparaît dans la notation trigonométrique des nombres complexes. Pour revenir au cosinus et au sinus, un nombre réel \(t\) étant représenté comme ordonnée d’un point de la droite verticale, le point du cercle qui lui est associé par cet « enroulement » détermine un angle orienté, dont on peut considérer le cosinus et le sinus. Le cosinus et le sinus du nombre réel \(t\) sont alors ceux de l’angle déterminé par le point du cercle associé à \(t\). C’est la raison pour laquelle, dans la notation trigonométrique des nombres complexes, on écrit \(e^{it}=\cos(t)+i\sin(t)\) : les nombres réels \(\cos (t)\) et \(\sin(t)\) sont, respectivement, les parties réelle et imaginaire du nombre complexe \(e^{it}\), qui n’est autre que \(exp(it)\).

Enroulement de la tangente autour du cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un nombre réel

3.Interprétation géométrique : Thales et Pythagore

La tangente et le théorème de Thales

Il existe une autre fonction trigonométrique usuelle appelée tangente, et qui est définie, pour un nombre réel \(x\) de cosinus non nul, comme le quotient \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\).

Si nous revenons aux angles orientés, la tangente d’un tel angle peut être définie géométriquement comme l’ordonnée du point d’intersection \(P\) de la seconde demi-droite de l’angle avec la droite verticale d’équation \(x=1\), c’est-à-dire la tangente au cercle trigonométrique.

Pour pouvoir définir de cette façon la tangente d’un angle orienté, il faut donc que cet angle ait une mesure différente de \(\pi/2\) ou \(-\pi/2\), cas où la deuxième demi-droite de l’angle est verticale et n’a donc pas d’intersection avec la droite \(x=1\). Ce cas correspond, sur le plan des fonctions, aux situations où l’on ne peut pas diviser \(\sin x\) par \(\cos x\), parce que \(\cos x=0\).

Si on note \(\alpha\) un angle orienté de mesure différente de \(\pi/2\) ou \(-\pi/2\), on note alors \(\tan\alpha\) la tangente de \(\alpha\). On adopte pour la fonction numérique la même notation, soit \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) pour \(x\) un nombre réel tel que \(\cos x\neq 0\).

On peut donner une interprétation géométrique naturelle de la tangente d’un angle orienté, en utilisant le théorème de Thalès de la manière suivante. En conservant les mêmes notations que précédemment, désignons par \(P\) le point d’intersection de la deuxième demi-droite (\(D\)) de l’angle \(\alpha\) avec la droite \(D’\) d’équation \(x=1\) (passant par \(I\) et perpendiculaire à l’axe des abscisses) Désignons aussi par \(A\) le point \((\cos\alpha,0)\) qui représente \(\cos \alpha\) sur l’axe des abscisses.

Les droites \(D’=(IP)\) et \((AM)\) sont parallèles, et dans le triangle \(OIP\) rectangle en \(I\), par le théorème de Thalès on peut écrire l’égalité \(\dfrac{AM}{OA}=\dfrac{IP}{OI}\), c’est-à-dire \(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha\).

Représentation géométrique de la tangente d'un angle orienté non droit
La tangente de l’angle \(\alpha\) formé par le demi-axe des abscisses positives et une demi-droite \(D\) non verticale, est par définition l’ordonnée du point d’intersection \(P\) de \(D\) avec la droite \(D’\) d’équation \(x=1\) et tangente au cercle trigonométrique en \(I\). Par le théorème de Thalès, on a \(\tan\alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos\alpha}\).

Coordonnées et théorème de Pythagore

En revenant aux coordonnées circulaires, on peut interpréter l’autre grand théorème élémentaire de la géométrie euclidienne plane comme une relation fondamentale entre le sinus et le cosinus.

Avec les mêmes notations, on considère désormais le triangle \(OAM\), rectangle en \(A\) et on note \(B\) le point \((0,\sin\alpha)\), qui représente \(\sin\alpha\) sur l’axe des ordonnées.

Par définition de \(A\) et de \(B\), on a \(OA=\cos\alpha\) et \(AM=OB=\sin\alpha\), si bien que par le théorème de Pythagore, on a \(OA^2+OB^2=OA^2+AM^2=OM^2\), c’est-à-dire \[\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1,\], puisque \(OM=1\), le segment \([OM]\) étant par définition un rayon du cercle trigonométrique.

Il s’agit de la relation fondamentale entre le sinus et le cosinus d’un angle orienté, qui peut s’étendre au sinus et au cosinus d’un nombre réel : pour tout nombre réel \(x\), on a \(\cos^2x+\sin^2x=1\).

Cette relation permet entre autres de paramétrer le cercle trigonométrique et tous les cercles du plan à l’aide des fonctions sinus et cosinus (voir Tracer un cercle sur le plan : équations et paramètres).

Théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique
Par le théorème de Pythagore, appliqué au triangle \(OAM\) rectangle en \(A\), on a \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=OA^2+OB^2=OA^2+AM^2=1\).

 


Pour aller plus loin

Commencer en mathématiques : Mathesis I.1 – Entrer dans l’Univers Mathématique

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