MATHESIS – Livres électroniques

Arithmétique Elémentaire
Des nombres entiers naturels aux nombres rationnels
Mathesis – L’Univers Mathématique
1ère année, Semestre 1, Cours n°3
Maîtrisez l’arithmétique
en un mois et sans lacunes
Des Nombres Entiers Naturels aux Nombres Rationnels, Découvrez :
- L’axiomatique de Peano et la construction intégrale de la structure arithmétique de l’ensemble N des entiers naturels, les nombres premiers et les bases de numération
- La définition axiomatique de l’ensemble Z des entiers relatifs, les nombres premiers entre eux, la décomposition des entiers en nombres premiers
- Les nombres primaires, l’arithmétique modulaire et les critères de divisibilité naturels
- La définition axiomatique de l’ensemble Q des nombres rationnels, et la densité de l’ordre
- Les valuations p-adiques et l’arithmétique des rationnels, la commensurabilité et le premier continuum entre l’arithmétique et la géométrie
Les nombres gouvernent le monde.
Pythagore de Samos
Votre enseignant avec Mathesis
Je m’appelle Jean Barbet, je suis diplômé de sciences expérimentales (Maîtrise de Biologie et 3ème cycle de Sciences de l’environnement) et Docteur en Mathématiques pures (Université Lyon 1, 2010). Je suis mathématicien indépendant et j’ai enseigné les mathématiques pendant plus de dix ans.
Après une expérience techno-scientifique de la recherche en écophysiologie, je me suis reconverti en mathématiques. Inscrit en 3ème année de Licence, j’ai expérimenté les limites matérielles de l’enseignement universitaire (restriction du volume des contenus, concentration sur l’algèbre et l’analyse, approches multiples…). J’ai comblé mes lacunes et complété mon apprentissage en entreprenant une intégration des connaissances mathématiques. En ajoutant des éléments substantiels mais fondamentaux (notamment en théorie des nombres, géométrie et logique mathématique), j’ai élaboré un « système de mathématiques supérieures », baptisé Mathesis.
Je souhaite transmettre ce système comme un corpus écrit et un cursus en ligne pour rendre accessible à tous le « noyau » des mathématiques « essentielles ». Le corpus est conçu comme une somme complète et auto-suffisante, correspondant à une Licence de mathématiques (Bac +3) du meilleur niveau, augmentée de compléments substantiels. L’objectif de Mathesis est de permettre à quiconque d’apprendre l’essentiel de la mathématique supérieure par soi-même.
Vous trouverez plus d’informations sur le cursus et une description détaillé de l’approche et du programme sur Mathesis – Explorez l’Infini et l’ensemble des publications associées sur Mathesis – e-Books.
Arithmétique Elémentaire
Des nombres entiers naturels aux nombres rationnels
Mathesis – L’Univers Mathématique
1ère année, Semestre 1, Cours n°3
Ce troisième cours ou volume du semestre I de la première année du cursus de MATHESIS, est entièrement réalisé par mes soins. Il est conçu pour vous aider à entrer de manière scientifique dans l’apprentissage de l’arithmétique ou théorie des nombres, grâce aux notions élémentaires de la théorie naïve des ensembles.
Nous commençons par une description complète de l’ensemble N des nombres entiers naturels, à partir des trois axiomes de Peano, qui permettent de fonder l’arithmétique de manière rigoureuse et scientifique, à partir de la théorie des ensembles et des fonctions. Ceci est possible grâce à la fonction successeur, évoquée au cours précédent, et à partir de laquelle nous définissons toute la « structure arithmétique naturelle », à savoir l’addition, la multiplication, l’ordre naturel et la divisibilité. Il est déjà possible d’aborder l’infinité des nombres premiers, l’algorithme d’Euclide sur le plus grand commun diviseur et les bases de numération.
L‘arithmétique s’enrichit substantiellement lorsqu’on ajoute la soustraction : celle-ci n’existe que dans l’ensemble Z des nombres entiers relatifs, que nous décrivons à nouveau de manière axiomatique, à partir de deux principes très simples liés à l’addition et qui permettent là aussi d’en reconstituer toute la structure naturelle. Ceci permet d’approfondir considérablement la théorie des nombres premiers entre eux avec le théorème de Bézout, et d’en déduire la décomposition des nombres entiers naturels en nombres premiers, qui est le « théorème fondamental de l’arithmétique » de Gauss. Les nombres primaires proviennent de cette décomposition et sont liés à l’étude du plus petit commun multiple ; on introduit aussi les relations de congruence, à la base de l’arithmétique modulaire, préparant la théorie des anneaux du semestre II.
Une introduction sérieuse à la théorie des nombres ne pourrait pas se passer d’une étude de l’ensemble Q des nombres rationnels, que nous abordons encore à partir de deux axiomes très simples, liés cette fois-ci à la multiplication. L’inversion multiplicative de tous les nombres rationnels non nuls transforme la théorie des nombres de deux manières. D’une part, il n’est plus possible d’aborder l’arithmétique sous l’angle de la divisibilité, mais nous introduisons les valuations p-adiques, qui permettent d’étendre aux nombres rationnels la décomposition des nombres entiers en nombres premiers, grâce à l’introduction des puissances négatives. D’autre part, la théorie des nombres premiers entre eux trouve un analogue géométrique dans la théorie des grandeurs commensurables, qui la prolonge. Cette théorie arithmético-géométrique prépare ainsi la deuxième partie du semestre et le cours suivant sur les nombres réels et la géométrie euclidienne.
Il est certain que la simple lecture de ce fascicule ne vous transformera pas du jour au lendemain en expert de la théorie des nombres. Il vous faudra suivre les conseils de travail que je vous donne au début du cours, et surtout travailler avec régularité et persévérance, sans jamais vous décourager. Je vous en dis plus dans le livre, mais vous devrez analyser des démonstrations et faire des exercices.
Ce que vous allez apprendre et comprendre dans ce troisième cours est une voie sûre et accessible vers la connaissance scientifique des trois systèmes de nombres élémentaires N, Z et Q. Les contenus du premier cours et du second cours sont considérés comme des prérequis, notamment ce qui concerne la théorie naïve des ensembles, la logique élémentaire et les notions de fini et d’infini. La mathématique est avant tout une science, vous y trouverez donc de la théorie ; mais on comprend en faisant, et vous aurez souvent à résoudre des exercices et des problèmes pour mettre en œuvre le cours, ce que je vous proposerai dans la plupart des leçons. Vous devez être conscient de l’effort qu’il faut fournir, et qu’il ne suffira pas de lire ce livre comme un roman pour devenir arithméticien. Vous êtes responsable de votre succès, mais j’ai tout fait pour vous guider pas-à-pas, sans échec, comme je l’ai déjà fait pour de nombreux élèves et étudiants.
Valeur du e-book (89 p, pdf)
17 €
- 19 leçons, 18 figures, 89 pages, 1 mois de formation
- Un cours complet sur les bases de l’arithmétique
- Auto-apprentissage en mode sans échec

Ce cours vous donne accès aux éléments suivants :
- L’approche scientifique moderne de la théorie des nombres entiers naturels à partir de la théorie des ensembles et des axiomes de Peano
- Une introduction scientifique complète à l’arithmétique ou théorie des nombres, comportant l’étude des nombres premiers, des nombres premiers entre eux et des bases de numération
- Un premier contact avec l’arithmétique modulaire et les théorèmes fondamentaux sur les congruences (théorème chinois, petit théorème de Fermat)
- Une description axiomatique originale des ensembles Z et Q et une extension de l’arithmétique élémentaire à l’ensemble des nombres rationnels via la théorie des valuations et l’étude de la commensurabilité
- 19 leçons, 18 figures, 89 pages, de nombreux exemples et exercices d’un niveau abordable pour illustrer et compléter la théorie
Les Questions Courantes
Comment puis-je accéder au livre ?
Lorsque vous aurez acheté l’e-book, vous recevrez par e-mail un accès à un espace réservé aux étudiant(e)s du cours. Vous y trouverez le e-book sous format pdf, et vous pourrez alors le télécharger. Vous pourrez immédiatement commencer votre programme d’études mathématiques.
Dois-je avoir des connaissances préalables en mathématiques ?
Le principe de Mathesis, le programme dont ce livre est la première étape, est de tout reprendre à zéro en posant des bases saines et rigoureuses. Les mathématiques du collège et du lycée, si elles constituent un socle intuitif utile, ne sont pas indispensables à connaître, puisque nous les réintroduisons au fur et à mesure. Vous n’aurez aucune difficulté à trouver par vous-même les connaissances élémentaires externes dont vous pourriez avoir besoin à l’occasion.
Je ne retrouve plus mon e-book. Puis-je le télécharger à nouveau ?
Bien sûr. Vous conservez votre accès à votre espace membre, et vous pourrez télécharger votre e-book pour votre usage personnel aussi souvent que vous en aurez besoin. Il y aura d’ailleurs certainement des révisions et vous serez averti(e) par e-mail des nouvelles versions qui seront publiés.
19 leçons de niveau supérieur, intégrant la théorie et la pratique, pour une acquisition scientifique de la théorie des nombres
Jean Barbet – MATHESIS
Contact : contact@reglecompas.fr