L’exponentielle circulaire et les fonctions trigonométriques

A partir de la fonction exponentielle complexe, on peut définir une fonction « exponentielle circulaire », qui « enroule » la droite réelle sur le cercle trigonométrique, et permet de définir rigoureusement les fonctions trigonométriques cosinus et sinus, qui s’étendent à tout le plan complexe, et de démontrer leurs propriétés élémentaires.

Introduction : définir les fonctions trigonométriques

Nous avons évoqué dans « Le cercle trigonométrique : où Pythagore rencontre Thalès » les fonctions trigonométriques cosinus et sinus, qui se définissent rigoureusement de manière géométrique pour des angles (orientés). Leur définition comme fonctions \(\cos : \mathbb R\to \mathbb R\) et \(\sin:\mathbb R\to \mathbb R\) est plus délicate, et nous n’en avons donné pour l’instant qu’une explication intuitive, correspondant à « l’enroulement » de la droite réelle sur le cercle trigonométrique. 

Les fonctions cosinus et sinus d’une variable réelle sont appelées fonctions circulaires, et nous les définirons rigoureusement ici grâce à la fonction que nous appellerons exponentielle « circulaire », et que nous introduirons à partir de l’exponentielle complexe. Nous retrouverons les propriétés usuelles de \(\cos\) et \(\sin\) à partir de cette fonction, et ce sera l’occasion d’introduire la représentation et la notation trigonométriques des nombres complexes.

1.L’exponentielle « circulaire »

1.1.Définition à partir de l’exponentielle complexe

La fonction analytique \(\exp:\mathbb C\to \mathbb C^*\) est définie pour tout nombre complexe \(z\in\mathbb C\) comme la somme de la série convergente \(\sum \dfrac{z^n}{n!}\). Cette fonction prolonge en fait la fonction exponentielle réelle \(\exp:\mathbb R\to \mathbb R_+^*\) (voir Fonctions analytiques et exponentielle complexe), et si on en considère la restriction à l’ensemble \(i\mathbb R=\{z\in\mathbb C : \exists x\in\mathbb R,\ z=ix\}\) des nombres imaginaires purs, on définit une nouvelle fonction, que nous appelons exponentielle « circulaire ».

Pour être plus précis, la fonction à laquelle nous faisons référence est l’application \(e\) définie sur l’ensemble \(\mathbb R\), et à valeurs dans \(S^1=\{z\in\mathbb C : |z|=1\}\) des nombres complexes de module \(1\), par \(e(t)=\exp(it)\). Nous avons vu en effet en étudiant l’exponentielle complexe que pour tout nombre imaginaire pur \(z=x+iy\), on a \(|\exp(z)|=1\). Le cercle \(S^1\) n’étant autre que le cercle trigonométrique, la fonction \(e\) n’est autre que « l’enroulement » de la droite réelle sur ce cercle, à partir duquel nous avons évoqué une définition possible des fonctions cosinus et sinus. 

1.2.Propriétés de \(e:t\mapsto \exp(it)\)

Avant de tirer de cette fonction une définition rigoureuse du cosinus et du sinus, nous en explicitons quelques propriétés élémentaires, tirées des propriétés de l’exponentielle complexe.

Le cercle trigonométrique \(S^1\) est « stable » par la multiplication : si \(z,w\in S^1\) sont deux nombres complexes de module \(1\), leur produit \(z.w\) est également de module \(1\). Comme l’exponentielle complexe est un « homomorphisme de groupes » de \((\mathbb C,+)\) dans \((\mathbb C^*,\times)\), cela signifie que l’exponentielle circulaire transforme l’addition des nombres réels en la multiplication des nombres complexes de module \(1\). Autrement dit, si \(s,t\) sont deux nombres réels, on a \(e(s+t)=\exp(i(s+t))=\exp(is+it)=\exp(is)\times\exp(it)=e(s)\times e(t)\) : la fonction \(e\) est elle-même un homomorphisme de groupes, du groupe \((\mathbb R,+)\) dans le groupe \((S^1,\times)\).

Comme fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb C\), l’application \(e\) est une fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R^2\) et comme telle, elle est dérivable en tant que fonction analytique. En particulier, elle est continue, et une expression de sa dérivée est alors donnée à partir de sa série dérivée, et puisqu’on a \(e(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(it)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{i^n}{n!} t^n\), cette série nous donne la valeur de \(e'(t)\), soit \(\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\dfrac{i^{n+1}}{(n+1)!} t^n=i\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{i^n}{n!} t^n=ie(t)\). Cette formule nous sera utile pour dériver le cosinus et le sinus réels.

La fonction exponentielle circulaire "enroule" la droite réelle sur le cercle tirgonométrique
La fonction exponentielle circulaire « enroule » la droite réelle sur le cercle trigonométrique. On peut démontrer à l’aide de la théorie des arcs rectifiables que la longueur de l’arc délimité par le point \(I\) et le point \(\exp(it)\) est précisément \(t\).

2.Définition et propriétés du cosinus et du sinus

2.1.Une définition rigoureuse des fonctions \(\cos\) et \(\sin\)

Une fois défini cet « enroulement » de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, qu’est l’exponentielle circulaire, la définition des fonctions circulaires est immédiate. On définit le cosinus d’un nombre réel quelconque \(t\) comme la partie réelle de \(e(t)=\exp(it)\), et le sinus de \(t\) comme la partie imaginaire de \(e(t)\). En composant ainsi la fonction \(e:\mathbb R\to \mathbb C\) par les fonctions partie réelle \(Re:\mathbb C\to \mathbb R,\ x+iy\mapsto x\) et partie imaginaire \(Im:x+iy\in\mathbb C\mapsto y\in \mathbb R\) – qui ne sont que les deux projections du plan euclidien, on obtient deux fonctions, le cosinus $\cos:x\in\mathbb R\mapsto Re(\exp(it)) \in\mathbb R$ et le sinus $\sin:x\in\mathbb R\mapsto Im(\exp(it))\in\mathbb R$.

A partir de la définition de \(e:\mathbb R\to \mathbb C\) comme fonction analytique et des propriétés de la partie réelle et de la partie imaginaire de la somme d’une série de nombres complexes, on peut alors donner une description du cosinus et du sinus comme sommes de séries. En effet, puisque pour tout nombre réel \(t\), on a \(e(t)=\exp(it)=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(it)^n}{n!}\), en utilisant le fait que \(i^{2n}=(-1)^n\) et \(i^{2n+1}=(-1)^ni\) pour tout entier naturel \(n\), il vient \[\cos(t)=Re(e(t))=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{t^{2n}}{(2n)!}\] et \[\sin(t)=Im(e(t))=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{t^{2n+1}}{(2n+1)!},\] ce qui signifie que les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont des fonctions analytiques réelles.

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