Introduction

Dans Angles de vecteurs : intuition géométrique et définition algébrique, nous avons défini et décrit le groupe des angles de vecteurs du plan euclidien de manière algébrique, en utilisant une relation d’équivalence sur les vecteurs unitaires. De même qu’on peut mesurer des longueurs, on apprend à l’école élémentaire qu’on peut mesurer des angles. Nous présentons ici les fondements de la mesure des angles de vecteurs, dont l’unité mathématique est le radian (voir aussi Le cercle trigonométrique : où Pythagore rencontre Thalès), à partir de l’analyse réelle et complexe.

1.Mesurer les angles par l’exponentielle circulaire

Si \(\vec\alpha=[(\vec u,\vec v)]\) est un angle de vecteurs, de sorte que \(\vec u,\vec v\) sont deux vecteurs unitaires, on sait qu’il existe une unique rotation vectorielle \(r\) telle que \(r(\vec u)=\vec v\). Par définition, l’angle \(\vec\alpha\) est l’angle de la rotation \(r\), laquelle s’écrit sous la forme \(r(x,y)=(ax+by,-bx+ay)\) pour tout vecteur \((x,y)\in\mathbb R^2\), avec \(a^2+b^2=1\). Rappelons d’ailleurs que le point \((a,b)\), vu comme vecteur unitaire \(\vec{u’}\), donne la représentation standard de l’angle \(\vec\alpha=[(\vec i,\vec{u’})]\), avec \(\vec i=(0,1)\).

Or, puisque le point \((a,b)\) est ainsi sur le cercle trigonométrique, il est l’image par la fonction exponentielle circulaire \(e(t)=\exp(it)\) d’un nombre réel \(t\). En effet, pour des raisons liées à sa continuité et à l’étude élémentaire des fonctions cosinus et sinus, cette fonction de \(\mathbb R\) dans \(S^1\) est en fait surjective. Autrement dit : il existe un nombre réel \(t\) tel que \[a+ib=(a,b)=\exp(it).\] Par définition, un nombre réel \(t\) tel que \(\exp(it)=(a,b)\) est une mesure de l’angle de vecteurs \(\vec\alpha\). 

Principe de la mesure d'un angle orienté
L’angle \(\vec\alpha=[(\vec u,\vec v)]\) entre les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) est mesuré grâce à la rotation \(r\) qui envoie \(\vec u\) sur \(\vec v\). La même rotation envoie \(\vec i =(0,1)\) sur \(\vec{u’}=(a,b)\), et il existe \(t\in\mathbb R\) tel que \(\exp(it)=a+ib=(a,b)\) : \(t\) est une mesure de \(\vec\alpha\).

2.Une mesure « à \(2\pi\) près » d’après la définition de \(\pi\)

Un tel nombre réel \(t\) possède donc la propriété suivante : on a \(\exp(it)=(a,b)=(\cos t,\sin t\)). Or, on peut démontrer qu’il existe un plus petit nombre réel \(t>0\) tel que \(\cos t=0\); si on note ce nombre \(a\), on peut définir le nombre \(\pi\) comme \(2a\). Pour tout nombre réel \(t\) on a alors \(\cos(t+2\pi)=\cos(t)\) et \(\sin(t+2\pi)=\sin(t)\) – on dit que le nombre \(2\pi\) est la période des fonctions cosinus et sinus. On peut donc encore écrire \((a,b)=\exp(it)=(\cos(t),\sin(t))=(\cos(t+2\pi),\sin(t+2\pi))=\exp(i(t+2\pi))\) !

En d’autres termes, si \(t\) est une mesure de l’angle \(\vec\alpha\) – obtenue par \(e(t)\) grâce au point \((a,b)\) associé à la rotation \(r\) d’angle \(\vec\alpha\) – alors \(t+2\pi\) est une autre mesure du même angle. Intuitivement, puisque la fonction \(e(t)\) « enroule » la droite réelle sur le cercle trigonométrique, et que le périmètre du cercle est \(2\pi\), on ne change pas l’angle en ajoutant \(2\pi\), ou un multiple entier de \(2\pi\), à sa mesure. En somme, il existe plusieurs mesures possibles d’un angle de vecteurs.

3.Le « noyau » de l’exponentielle circulaire

Ceci s’interprète à travers les propriétés de l’exponentielle circulaire \(e(t)=\exp(it)\). Nous avions évoqué que \(e(t)\) est un homomorphisme de groupes de \((\mathbb R,+)\) dans \((S^1,\times)\), transformant l’addition des nombres réels en la multiplication complexe des éléments de \(S^1\). On peut démontrer que la période \(2\pi\) de \(\cos\) et \(\sin\) est le plus petit nombre réel \(t>0\) tel que \(e(t)=1\), soit tel que \(\exp(it)=1\). Il s’ensuit que si \(t\in\mathbb R\) et \(k\in\mathbb Z\), on peut écrire \(e(t+2k\pi)=\exp(i(t+2k\pi))=\exp(it).\exp(2ik\pi)=\exp(it).\exp(2i\pi)^k=\exp(it).1^k=\exp(it)\). L’étude des sous-groupes de \((\mathbb R,+)\) permet en fait d’établir que les nombres réels \(t\) tels que \(e(t)=1\) sont exactement les nombres de la forme \(t=2\times k\times \pi\), où \(k\in\mathbb Z\) est un entier naturel.

On note \(2\pi\mathbb Z\) l’ensemble des multiples entiers de \(2\pi\), c’est-à-dire des nombres réels de la forme \(2k\pi\), pour \(k\in\mathbb Z\). En termes savants, on dit que le « noyau » de \(e(t)\) – c’est-à-dire l’ensemble des nombres réels \(t\) tels que \(\exp(it)=1\) – est le groupe \((2\pi\mathbb Z,+)\). Deux mesures du même angle diffèrent alors exactement d’un multiple entier de \(2\pi\).  Pour en rendre compte précisément, on peut définir une nouvelle relation d’équivalence entre deux nombres réels \(t\) et \(s\) en décrétant que \(t\) est équivalent à \(s\) si il existe \(x\in 2\pi\mathbb Z\) tel que \(t-s=x\), c’est-à-dire s’il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que \(t=s+2k\pi\). On dit alors que \(t\) et \(s\) sont congrus modulo \(2\pi\).

Le noyau de l'exponentielle circulaire
Quelques nombres \(t\) du noyau de l’exponentielle circulaire, c’est-à-dire tels que \(\exp(it)=1\).

4.L’isomorphisme entre \(\mathbb R/2\pi\mathbb Z\) et le groupe des angles

Comme pour les angles de vecteurs, on peut additionner deux classes \([t]\) et \([s]\) pour cette relation selon l’égalité \([t]+[s]=[t+s]\), et décrire l’opposé d’une classe \([t]\) comme \([-t]\); le « zéro » de l’addition est alors \([0]\), soit l’ensemble \(2\pi\mathbb Z\).. L’ensemble des classes d’équivalence de nombres réels pour cette relation forme ainsi un groupe qu’on appelle groupe quotient de \((\mathbb R,+)\) par \((2\pi\mathbb Z,+)\) et qu’on note \((\mathbb R/2\pi\mathbb Z,+)\). Par définition du noyau d’un homomorphisme, ce groupe est isomorphe – c’est-à-dire indiscernable sur le plan mathématique – au groupe \((S^1,\times)\). Nous obtenons ainsi, par un isomorphisme \(f:[t]\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z\mapsto \exp(it)\in S^1\), une quatrième représentation du même objet mathématique essentiel : le cercle trigonométrique \((S^1,\times)\), le groupe des rotations vectorielles \((\mathcal R,\circ)\), le groupe des angles de vecteurs \((\mathcal A,+)\).

Si nous composons \(f\) avec l’isomorphisme \(g:(a,b)\in S^1\mapsto \vec\alpha\in \mathcal A\), où \(\vec\alpha=[(\vec i,\vec u)]\) est l’angle de vecteurs associé au couple \((\vec i=(1,0),\vec u=(a,b))\), on obtient l’isomorphisme \(h=g\circ f:(\mathbb R/2\pi\mathbb Z,+)\to (\mathcal A,+)\). Il s’agit donc d’une bijection qui associe à la classe \([t]\) d’un nombre réel \(t\) modulo \(2\pi\) l’angle de vecteurs dont \(t\) est une mesure, et dont toutes les mesures sont les éléments de \([t]\), soit les nombres \(t+2k\pi\), pour \(k\in\mathbb Z\). La bijection inverse \((h^{-1}=g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}:\mathcal A\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z\) associe donc à un angle de vecteurs l’ensemble de ses mesures.

5.La mesure principale d’un angle et le radian

On peut ainsi définir « La » mesure d’un angle de vecteurs, comme classe d’équivalence de nombres réels modulo \(2\pi\mathbb Z\), et chaque élément de cette classe est une mesure possible. Puisque \(h^{-1}\) est également un homomorphisme de groupes, il préserve la « somme » : si \(\vec\alpha\) et \(\vec\beta\) sont deux angles de vecteurs, la mesure \(h^{-1}(\vec\alpha+\vec\beta)\) est la somme \(h^{-1}(\vec\alpha)+h^{-1}(\vec\beta)\). De même, la mesure de \(-\vec\alpha\) est \(-h^{-1}(\vec\alpha)\), et la mesure de l’angle nul \(\vec 0\) est \([0]\), soit \(2\pi\mathbb Z\).

Une autre manière d’associer à un angle \(\vec\alpha\) « une » mesure, consiste à choisir celle qui se trouve dans l’intervalle \([0,2\pi[\). En effet, si \(h(\vec\alpha)=[t]\), il existe un seul nombre réel \(s\in [0,2\pi[\) tel que \([s]=[t]\), autrement dit tel que \(s\) est une mesure de \(\vec\alpha\). Ce nombre, en quelque sorte la « mesure standard » de l’angle, correspond en fait à la longueur de l’arc de cercle compris entre le point \(I=(0,1)\) et le point \((a,b)\) de \(S^1\) déterminé par l’angle \(\vec\alpha\) et décrit dans le sens trigonométrique. C’est la raison pour laquelle le radian est « l’unité de mesure mathématique » des angles, \(1\) radian correspondant à la mesure d’un angle déterminant un arc de cercle de longueur \(1\).

Mesure standard d'un angle en radians
L’angle \(\vec\alpha\) déterminé par les points \(I\) et \(M\) a une mesure « standard » de \(4\pi/3\) radians, soit \(2/3\) du périmètre du cercle qui est \(2\pi\). Le nombre \(-2\pi/3\) est également une mesure de cet angle.

Pour aller plus loin

Commencer en mathématiques : Mathesis I.1 – Entrer dans l’Univers Mathématique