Il existe diverses manières de définir les nombres complexes. La plus directe consiste à les regarder comme les points ou les vecteurs du plan. L’addition et la multiplication se définissent alors grâce aux coordonnées.

1. L’ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes

1.1. Un nombre complexe est un nombre à deux dimensions

Un nombre complexe est tout simplement un vecteur ou un point du plan euclidien \(\mathbb R^2=\mathbb R\times \mathbb R\) (voir Le Plan euclidien : géométrie antique et approche analytique). Autrement dit, c’est un couple \((a,b)\) de nombre réels, c’est-à-dire un nombre « à deux dimensions ». Quand on le considère comme nombre complexe, c’est qu’implicitement on le considère comme intégré à une structure algébrique particulière sur \(\mathbb R^2\).

1.2. L’addition et la multiplication des nombres complexes

Soyons plus précis : cette « structure » consiste en une addition vectorielle et une multiplication complexe (c’est-à-dire géométrique). Pour l’addition vectorielle, si \((a,b)\) et \((c,d)\) sont deux vecteurs du plan \(\mathbb R^2\), alors par définition on les additionne « coordonnée-par-coordonnée », c’est-à-dire que \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\). Au sujet de la multiplication complexe, au lieu de multiplier « coordonnée-par-coordonnée », on multiple comme suit : \((a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\). Cette multiplication correspond géométriquement à ce qu’on appelle une similitude plane (définie par le nombre \((a,b)\) et appliquée au nombre \((c,d)\)), qui est une transformation du plan préservant la « forme » des objets (d’où le terme de « similitude », de l’adjectif « similaire »). Comme dans l’ensemble \(\mathbb R\) des nombres réels, l’addition et la multiplication sont associatives et commutatives (on peut les faire dans n’importe quel sens). Aussi, la multiplication est distributive sur l’addition : si \((a,b), (c,d)\) et \((e,f)\) sont des nombres complexes, on a \((a,b).((c,d)+(e,f))=(a,b).(c,d)+(a,b).(e,f)\), ce qu’on peut vérifier à partir de la définition.

1.3. Le « corps » des nombres complexes

En termes savant, on dit qu’on ne considère pas seulement sur \(\mathbb R^2\) la structure « d’espace vectoriel produit », ni la structure « d’anneau produit », mais une « structure d’anneau » qu’on note \(\mathbb C\). Le « zéro » pour l’addition est le nombre \((0,0)\) (origine géométrique du plan), puisque \((a,b)+(0,0)=(a,b)\) pour tout nombre complexe \((a,b)\in\mathbb C\). Le « un » pour la multiplication est le nombre \((1,0)\), puisque \((a,b).(1,0)=(a.1–0.0,a.0+b.1)=(a,b)\) par définition. Cette structure est ce qu’on appelle un corps : tout élément non nul possède un inverse, ce qu’on peut voir comme suit. Si \((a,b)\in\mathbb C\) n’est pas nul, alors soit \(a\neq 0\) soit \(b\neq 0\) et dans les deux cas, on a \(a^2+b^2\neq 0\), et alors \((a,b).(\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2})=(\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2},\dfrac{-ab+ba}{a^2+b^2})=(1,0)\), si bien que \((\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2})\) est l’inverse de \((a,b)\) !

Sur la figure suivante, nous avons représenté deux points du plan, \(A\) et \(B\), considérés comme nombres complexes, ainsi que leur somme \(C=A+B\) et leur produit (complexe) \(D=A\times B\). Le point \(1/B\) est l’inverse complexe de \(B\).

2. Partie réelle et partie imaginaire

2.1. Une racine carrée imaginaire de \(-1\)

Pour bien expliquer ce qu’ils sont, nous n’avons pas présenté d’emblée les nombres complexes avec leur notation habituelle, que nous introduisons maintenant grâce à une justification algébrique. Une particularité de ces nombres est qu’il existe un nombre complexe \((a,b)\) tel que \((a,b)^2=-1\) (!), autrement dit une « racine carrée de \(-1\)« . Lorsque nous écrivons ceci, nous avons identifié le nombre (réel) \(-1\) avec le nombre complexe \((-1,0)\) : on identifie en fait chaque nombre réel \(a\) avec le nombre complexe \((a,0)\). On dit qu’on a un homomorphisme de corps de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb C\) et géométriquement, cela revient à considérer la « droite réelle » \(\mathbb R\) (voir Qu’est-ce qu’un nombre réel ?) comme l’axe des abscisses. La « racine carrée » \((0,1)\) de \(-1\) se trouve alors « hors » de l’ensemble \(\mathbb R\), on dit qu’elle est « imaginaire » !

2.2. Notation habituelle des nombres complexes

Il existe en fait deux nombres complexes dont le carré vaut \(-1\), le nombre \((0,1)\) et le nombre \((0,-1)\), ce qu’on peut vérifier par exemple pour le premier en calculant \[(0,1)^2=(0,1).(0,1)=(0.0–1.1,0.1+1.0)=(-1,0).\] Le nombre complexe \((0,1)\) est noté \(i\), et à cause de cette propriété algébrique, il est beaucoup plus commode, sur les plans algébrique et géométrique, d’écrire un nombre complexe de la forme \((a,b)\) sous la forme \(a+ib\), ce qui est la notation \(a.1+b.i=a.(1,0)+b.(0,1)\). En effet, on peut multiplier un nombre complexe \((a,b)\) quelconque par un nombre réel \(c\) donné comme suit, en le considérant comme un vecteur : \(c.(a,b)=(ca,cb)\). Il s’ensuit que le vecteur \(a+ib=a.1+b.i\) est exactement \(a.(1,0)+b.(0,1)\) par l’identification des nombres réels, ou encore \((a,0)+(0,b)=(a,b)\).

2.3. Partie réelle, partie imaginaire, affixe

De cette façon, on retrouve de manière très commode la description de la multiplication des nombres complexes, grâce aux propriétés du nombre particulier \(i\). Si \((a,b)\) et \((c,d)\) sont deux nombres complexes, qu’on note maintenant \(a+ib\) et \(c+id\), on peut en effet calculer directement, avec les règles usuelles de \(+\) et \(\times\), $$\begin{eqnarray} (a+ib).(c+id)&=&ac+(ad).i+(bc).i+(bd).i^2\\&=&ac+(ad+bc).i+(bd).(-1)\\&=&(ac-bd)+i(ad+bc)!\end{eqnarray}$$ L’important est ici de discerner entre la multiplication vectorielle et la multiplication complexe et de comprendre où l’on identifie des nombres réels avec leur nombre complexe correspondant. Le nombre réel \(a\) est appelé la partie réelle, et le nombre réel \(b\) la partie imaginaire du nombre complexe \(a+ib\). Ces deux nombres réels sont les coordonnées de ce nombre comme élément de \(\mathbb R^2\), et le nombre complexe \(z=a+ib\) est appelé l’affixe du point \((a,b)\). C’est en quelque sorte une « coordonnée complexe ».

Sur la figure suivante, nous avons représenté le nombre complexe \(a+ib=(a,b)=(5,3)\), avec ses deux coordonnées \(a\) et \(b\), les nombres complexes correspondants (projections sur les axes), et le nombre \(i\). \(5\) est la partie réelle, \(3\) est la partie imaginaire, de ce nombre complexe \(5+3i\), affixe du point (5,3).

3. Conjugué et module d’un nombre complexe

3.1. Conjugué et parties réelle et imaginaire

Le nombre complexe \(z=a+ib\) étant le point \((a,b)\) du plan euclidien, son symétrique par rapport à l’axe des abscisses est le point \((a,-b)\), soit le nombre complexe \(a-ib\). Ce nombre est noté \(\overline z\) et s’appelle le conjugué de \(z\). Le conjugué d’un nombre complexe possède plusieurs propriétés intéressantes et joue un rôle essentiel dans toute la théorie de ces nombres. Par exemple, il permet de recouvrer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre \(z\), puisqu’en écrivant \(z+\overline z=(a+ib)+(a-ib)=2a\) on voit que \(Re(z)=\dfrac{z+\overline z}{2}\). De même, en écrivant \(z-\overline z=(a+ib)-(a-ib)=2ib\), on obtient \(Im(z)=\dfrac{z-\overline z}{2i}\), puisqu’on peut diviser par le nombre complexe \(2i\) qui est non nul.

3.2. Conjugaison et structure

Nous avons vu qu’un nombre réel \(x\) peut s’identifier au nombre complexe \(x+0i\), si bien qu’un nombre complexe \(z=a+ib\) « est » un nombre réel exactement lorsque sa partie imaginaire est nulle – soit \(Im(z)=0\), ou encore lorsqu’il est égal à sa partie réelle – soit \(z=Re(z)\). Ceci se reformule à partir du conjugué en disant simplement que \(z\) est réel si et seulement si \(z=\overline z\). Géométriquement, cela correspond à la situation où \(z\) est son propre symétrique par rapport à l’axe des abscisses. En particulier, tout nombre réel est égal à son propre conjugué. Par ailleurs, si \(z\) et \(w\) sont deux nombres complexes, on démontre facilement à partir de la définition que \(\overline {z+w}=\overline z+\overline w\) et que \(\overline{z\times w}=\overline z\times \overline w\). En d’autres termes, l’opération de conjugaison « préserve » la structure opératoire des nombres complexes, on dit qu’il s’agit d’un automorphisme du corps \(\mathbb C\).

3.3. Module d’un nombre complexe

Le module d’un nombre complexe \(z=a+ib\) est sa norme (euclidienne) en tant que vecteur, c’est-à-dire sa distance euclidienne à l’origine en tant que point. Autrement dit, il s’agit du nombre réel positif noté \(|z|\) (comme la valeur absolue) et défini par \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). Le module des nombres complexes prolonge la valeur absolue des nombres réels, au sens où si \(x\) est un nombre réel conçu comme le nombre complexe \(x+0i\), son module en tant que nombre complexe est sa valeur absolue en tant que nombre réel (puisque \(|x|=\sqrt{x^2}=\sqrt{x^2+0^2}\)). Ici aussi, le module peut se décrire à partir du conjugué : puisque \(i^2=-1\) par définition de \(i\), on peut écrire en effet \(a^2+b^2\) comme une identité remarquable de la forme \(a^2-c^2\), avec \(c=ib\) ! Ceci signifie que \(a^2+b^2=a^2-(ib)^2=(a+ib).(a-ib)=z.\overline z\), et donc que \(|z|=\sqrt{z.\overline z}\). En particulier, si \(z=a+ib\) n’est pas nul, on dispose d’une formule commode pour calculer son inverse : comme \(|z|\neq 0\), on a \(\dfrac{z.\overline z}{|z|^2}=1\), si bien que \[\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline z}{|z|^2}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}.\]

Sur la figure suivante, nous avons représenté le nombre complexe \(z=3+2i\) et son conjugué \(\overline z=3-2i\), symétrique de \(z\) par rapport à l’axe des abscisses (en noir). Le module de \(z\) est \(\sqrt{13}\), ce qui permet de calculer et situer son inverse \(1/z=\dfrac{3-2i}{13}\) (en violet).

4. D’autres définitions des nombres complexes…

Enfin, mentionnons qu’il existe d’autres constructions de l’ensemble \(\mathbb C\) (plutôt de la « structure » \(\mathbb C\)) des nombres complexes, au sens où elles donnent essentiellement le même objet mathématique. Par exemple, il est possible de diviser des polynômes à coefficients réels (expressions algébriques de la forme \(a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n\), avec les \(a_i\) des nombres réels, voir Polynômes à une indéterminée : la représentation combinatoire des équations) comme on divise des nombres entiers. Alors, l’ensemble des restes de la division euclidienne de ces polynômes par le polynôme \(x^2+1\) (par exemple) donne une autre version de l’ensemble \(\mathbb C\), où dans ce cas \(i\) est le polynôme \(x\) !

Conclusion : un nombre complexe est un nombre « à deux dimensions réelles », conçu implicitement comme faisant partie d’une structure avec une addition vectorielle et une multiplication géométrique particulière.

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Pour aller plus loin

Commencer en mathématiques : Mathesis I.1 – Entrer dans l’Univers Mathématique