Il existe diverses manières de définir les nombres complexes. La plus directe consiste à les regarder comme les points ou les vecteurs du plan. L’addition et la multiplication se définissent alors grâce aux coordonnées.

1. L’ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre à deux dimensions

Un nombre complexe est tout simplement un vecteur ou un point du plan euclidien \(\mathbb R^2=\mathbb R\times \mathbb R\) (voir Le Plan euclidien : géométrie antique et approche analytique). Autrement dit, c’est un couple \((a,b)\) de nombre réels, c’est-à-dire un nombre « à deux dimensions ». Quand on le considère comme nombre complexe, c’est qu’implicitement on le considère comme intégré à une structure algébrique particulière sur \(\mathbb R^2\).

L’addition et la multiplication des nombres complexes

Pour être plus précis, cette « structure » consiste en une addition vectorielle et une multiplication complexe (c’est-à-dire géométrique). Pour l’addition vectorielle, si \((a,b)\) et \((c,d)\) sont deux vecteurs du plan \(\mathbb R^2\), alors par définition on les additionne « coordonnée-par-coordonnée », c’est-à-dire que \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\). Pour la multiplictaion complexe, au lieu de multiplier « coordonnée-par-coordonnée », on multiple comme suit : \((a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\). Cette multiplication correspond géométriquement à ce qu’on appelle une similitude plane (définie par le nombre \((a,b)\) et appliquée au nombre \((c,d)\)), qui est une transformation du plan préservant la « forme » des objets (d’où le terme de « similitude », de l’adjectif « similaire »). Comme dans l’ensemble \(\mathbb R\) des nombres réels, l’addition et la multiplication sont associatives et commutatives (on peut les faire dans n’importe quel sens). Aussi, la multiplication est distributive sur l’addition : si \((a,b), (c,d)\) et \((e,f)\) sont des nombres complexes, on a \((a,b).((c,d)+(e,f))=(a,b).(c,d)+(a,b).(e,f)\), ce qu’on peut vérifier à partir de la définition.

Le « corps » des nombres complexes

En termes savant, on dit qu’on ne considère pas seulement sur \(\mathbb R^2\) la structure « d’espace vectoriel produit », ni la structure « d’anneau produit », mais une « structure d’anneau » qu’on note \(\mathbb C\). Le « zéro » pour l’addition est le nombre \((0,0)\) (origine géométrique du plan), puisque \((a,b)+(0,0)=(a,b)\) pour tout nombre complexe \((a,b)\in\mathbb C\). Le « un » pour la multiplication est le nombre \((1,0)\), puisque \((a,b).(1,0)=(a.1–0.0,a.0+b.1)=(a,b)\) par définition. Cette structure est ce qu’on appelle un corps : tout élément non nul possède un inverse, ce qu’on peut voir comme suit. Si \((a,b)\in\mathbb C\) n’est pas nul, alors soit \(a\neq 0\) soit \(b\neq 0\) et dans les deux cas, on a \(a^2+b^2\neq 0\), et alors \((a,b).(\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2})=(\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2},\dfrac{-ab+ba}{a^2+b^2})=(1,0)\), si bien que \((\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2})\) est l’inverse de \((a,b)\) !

Sur la figure suivante, nous avons représenté deux points du plan, \(A\) et \(B\), considérés comme nombres complexes, ainsi que leur somme \(C=A+B\) et leur produit (complexe) \(D=A\times B\). Le point \(1/B\) est l’inverse complexe de \(B\).

On représente l'addition et la multiplication de deux nombres complexes, ainsi que l'inverse d'un nombre complexe non nul

2. Partie réelle et partie imaginaire

Une racine carrée imaginaire de \(-1\)

Nous n’avons pas présenté les nombres complexes de la manière habituelle, pour bien expliquer de quoi il s’agit; nous introduisons maintenant les notations habituelles. Une particularité de ces nombres est qu’il existe un nombre complexe \((a,b)\) tel que \((a,b)^2=-1\) (!), autrement dit une « racine carrée de \(-1\) ». Lorsque nous écrivons ceci, nous avons identifié le nombre (réel) \(-1\) avec le nombre complexe \((-1,0)\) : on identifie en fait chaque nombre réel \(a\) avec le nombre complexe \((a,0)\). On dit qu’on a un homomorphisme de corps de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb C\) et géométriquement, cela revient à considérer la « droite réelle » \(\mathbb R\) (voir Qu’est-ce qu’un nombre réel ?) comme l’axe des abscisses. La « racine carrée » \((0,1)\) de \(-1\) se trouve alors « hors » de l’ensemble \(\mathbb R\), on dit qu’elle est « imaginaire » !

L’écriture algébrique \(a+ib\) d’un nombre complexe

Il existe en fait deux nombres complexes dont le carré vaut \(-1\), le nombre \((0,1)\) et le nombre \((0,-1)\), ce qu’on peut vérifier par exemple pour le premier en calculant \[(0,1)^2=(0,1).(0,1)=(0.0–1.1,0.1+1.0)=(-1,0).\] Le nombre complexe \((0,1)\) est noté \(i\), et à cause de cette propriété algébrique, il est beaucoup plus commode, sur les plans algébrique et géométrique, d’écrire un nombre complexe de la forme \((a,b)\) sous la forme \(a+ib\), ce qui est la notation \(a.1+b.i=a.(1,0)+b.(0,1)\). En effet, on peut multiplier un nombre complexe \((a,b)\) quelconque par un nombre réel \(c\) donné comme suit, en le considérant comme un vecteur : \(c.(a,b)=(ca,cb)\). Il s’ensuit que le vecteur \(a+ib=a.1+b.i\) est exactement \(a.(1,0)+b.(0,1)\) par l’identification des nombres réels, ou encore \((a,0)+(0,b)=(a,b)\).

Partie réelle, partie imaginaire, affixe

De cette façon, on retrouve de manière très commode la description de la multiplication des nombres complexes, grâce aux propriétés du nombre particulier \(i\). Si \((a,b)\) et \((c,d)\) sont deux nombres complexes, qu’on note maintenant \(a+ib\) et \(c+id\), on peut en effet calculer directement, avec les règles usuelles de \(+\) et \(\times\), \((a+ib).(c+id)=ac+(ad).i+(bc).i+(bd).i^2\) \(=ac+(ad+bc).i+(bd).(-1)=(ac-bd)+i(ad+bc)\) ! L’important est ici de discerner entre la multiplication vectorielle et la multiplication complexe et de comprendre où l’on identifie des nombres réels avec leur nombre complexe correspondant. Le nombre réel \(a\) est appelé la partie réelle, et le nombre réel \(b\) la partie imaginaire du nombre complexe \(a+ib\). Ces deux nombres réels sont les coordonnées de ce nombre comme élément de \(\mathbb R^2\), et le nombre complexe \(z=a+ib\) est appelé l’affixe du point \((a,b)\). C’est en quelque sorte une « coordonnée complexe ».

Sur la figure suivante, nous avons représenté le nombre complexe \(a+ib=(a,b)=(5,3)\), avec ses deux coordonnées \(a\) et \(b\), les nombres complexes correspondants (projections sur les axes), et le nombre \(i\). \(5\) est la partie réelle, \(3\) est la partie imaginaire, de ce nombre complexe \(5+3i\), affixe du point (5,3).

3. D’autres définitions des nombres complexes…

Enfin, mentionnons qu’il existe d’autres constructions de l’ensemble \(\mathbb C\) (plutôt de la « structure » \(\mathbb C\)) des nombres complexes, au sens où elles donnent essentiellement le même objet mathématique. Par exemple, il est possible de diviser des polynômes à coefficients réels (expressions algébriques de la forme \(a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n\), avec les \(a_i\) des nombres réels, voir Polynômes à une indéterminée : la représentation combinatoire des équations) comme on divise des nombres entiers. Alors, l’ensemble des restes de la division euclidienne de ces polynômes par le polynôme \(x^2+1\) (par exemple) donne une autre version de l’ensemble \(\mathbb C\), où dans ce cas \(i\) est le polynôme \(x\) !

Conclusion : un nombre complexe est un nombre « à deux dimensions réelles », conçu implicitement comme faisant partie d’une structure avec une addition vectorielle et une multiplication géométrique particulière.