La multiplication complexe se prolonge naturellement à une multiplication en quatre dimensions, qui définit sur l’espace \(\mathbb R^4\) la structure de l’algèbre \(\mathbb H\) des quaternions de Hamilton. Cette multiplication s’interprète géométriquement à partir du produit scalaire et du produit vectoriel dans l’espace, ce qui permet de séparer une composante « scalaire » et une composante « vectorielle », faisant de \(\mathbb H\) un « espace-temps algébrique ».

La définition algébrique des quaternions

Retrouver la multiplication complexe à partir de \(i^2=-1\)

Lorsque l’on définit la structure algébrique des nombres complexes, on prolonge de manière géométrique la structure de l’ensemble \(\mathbb R\) à celle de l’ensemble \(\mathbb C\). Ce prolongement consiste à définir une « multiplication vectorielle » sur le plan \(\mathbb R^2\), distributive sur l’addition habituelle des vecteurs coordonnée par coordonnée. Le nombre complexe \((0,1)\), noté \(i\), joue un rôle essentiel dans la description algébrique des nombres complexes, puisqu’un tel nombre peut s’écrire sous la forme \((a,b)=a+ib\). La « règle » \(i^2=-1\) permet alors de retrouver la multiplication complexe à partir des propriétés habituelles du produit, sous la forme \[(a+ib).(c+id)=ac+i(ad+bc)+i²(bd)=ac-bd+i(ad+bc).\]

Prolonger la structure complexe en dimension supérieure

Le mathématicien et physicien irlandais William Rowan Hamilton souhaitait étendre les nombres complexes en dimension supérieure. Alors qu’il cherchait désespérément une opération analogue à la multiplication complexe en trois dimensions, la solution lui vint en 1843 sous la forme d’une intuition au cours d’une promenade en compagnie de son épouse. Il fallait réfléchir en quatre dimensions pour multiplier des vecteurs de dimension supérieure ! Les vecteurs de l’espace \(\mathbb R^4\) sont les quadruplets de nombres réels \((t,x,y,z)\), et ils s’écrivent donc comme combinaisons des vecteurs de base notés \(1=(1,0,0,0)\), \(i=(0,1,0,0)\), \(j=(0,0,1,0)\) et \(k=(0,0,0,1)\), sous la forme \((t,x,y,z)=t.1+x.i+y.j+z.t\). L’intuition de Hamilton a consisté à deviner ou inventer les formules \[i^2=j^2=k^2=ijk=-1,\] et à découvrir qu’on pouvait définir une multiplication vectorielle en dimension \(4\) à partir des règles de multiplication des vecteurs de base. Ces règles sont : \(i²=j²=k²=-1\), \(ij=k=-ji, jk=i=-kj\) et \(ki=j=-jk\), et on les étend aux vecteurs de \(\mathbb R^4\) en écrivant \((t,x,y,z)\times (t’,x’,y’,z’)=(t.1+x.i+y.j+z.k)\times (t’.1+x’.i+y’.j+z’.k)\), soit \((tt’-xx’-yy’-zz’).1+(tx’+xt’+yz’-zy’).i+(ty’+yt’+zx’-xz’).j+(tz’+zt’+xy’-yx’).k\) en utilisant les propriété habituelles du produit.

Formule de multiplication des quaternions
L’équation gravée par William Hamilton sur le Brougham Bridge (Dublin) en 1843, exprimant la multiplication quaternionique sur les vecteurs de base de l’espace \(\mathbb R^4\)

L’algèbre \(\mathbb H\) des quaternions

Une algèbre à divisions en dimension 4

Ainsi, on peut définir une multiplication en dimension \(4\), en suivant une idée analogue à celle qui permet de définir la multiplication complexe en dimension \(2\). On retrouve cette multiplication complexe pour les vecteurs de la forme \((t,x,0,0)=t.1+x.i\), qu’on identifie aux vecteurs \((t,x)\) du plan (nombres complexes \(t+xi\)), et on la prolonge ici grâce aux vecteurs \(j\) et \(k\). Cependant, cette multiplication en \(4\) dimensions, distributive sur l’addition des vecteurs, n’est plus commutative : contrairement à la multiplication complexe, il n’est pas vrai que si \(q\) et \(q’\) sont deux vecteurs de dimension \(4\), on ait toujours \(q\times q’=q’\times q\). Autrement dit, l’ordre dans lequel on effectue l’opération a une influence sur le résultat, ce qui se voit déjà sur les vecteurs de base, puisque \(i\times j=-j\times i\), \(j\times k=-k\times j\) et \(k\times i=-i\times k\). L’ensemble \(\mathbb R^4\), avec son addition vectorielle et cette multiplication, est appelé algèbre des quaternions (de Hamilton), et notée \(\mathbb H\). Le vecteur \(1=(1,0,0,0)\) est le « un » de cette multiplication, au sens où si \(q=(t,x,y,z)\) est un quaternion, on a \(1\times q=q\times 1=q\), ce qu’on peut vérifier facilement par le calcul. De plus, comme dans \(\mathbb Q\), \(\mathbb R\) et \(\mathbb C\), tout élément non nul \(q\) de \(\mathbb H\) possède un unique inverse \(q^{-1}\), c’est-à-dire tel que \(q\times q^{-1}=q^{-1}\times q=1\). On dit que \(\mathbb H\) est un corps non commutatif ou en général une algèbre à divisions.

Interprétation géométrique : un espace-temps algébrique

La description précédente de la multiplication dans \(\mathbb H\) est algébrique : elle a été définie de manière purement « opératoire ». Cette structure recèle cependant des significations géométriques profondes. En effet, Hamilton, qui a inventé le concept de « vecteur » pour parler des quaternions, distinguait une des coordonnées – la première – qu’il appelait « partie scalaire », et les trois autres, qu’il rassemblait en une « partie vecteur ». Rappelons ici la définition analytique du produit scalaire naturel de deux vecteurs \(V=(x,y,z)\) et \(V’=(x’,y’,z’)\) de l’espace : on a \(V.V’=(xx’+yy’+zz’)\); de même, leur produit vectoriel est \(V\wedge V’=(yz’-zy’,zx’-xz’,xy’-yx’)\). Décrivons alors tout quaternion \(q=(t,x,y,z)\) sous la forme d’un couple \((t,V)\), avec \(t\in\mathbb R\) et \(V\in\mathbb R^3\) un vecteur de l’espace euclidien. En utilisant la définition analytique du produit quaternionique et des produits scalaire et vectoriel dans l’espace, on peut alors ré-écrire le produit de deux quaternions \(q=(t,x,y,z)\) et \(q’=(t’,x’,y’,z’)\) sous la forme \[(t,V)\times (t’,V’)=(tt’-V.V’, tV’+t’V+V\wedge V’),\] si \(V=(x,y,z)\) et \(V’=(x’,y’,z’)\) ! Autrement dit, la multiplication quaternionique fait apparaître implicitement le produit scalaire et le produit vectoriel naturel d’une composante « spatiale », qu’on peut séparer naturellement d’une composante « temporelle ». Ainsi, tandis que le corps \(\mathbb C\) est un « plan algébrique », l’algèbre \(\mathbb H\) est en quelque sorte un « espace-temps algébrique », intrinsèquement mathématique.

Représentation polaire des quaternions de Hamilton

La sphère de rayon \(1\) dans l’espace \(\mathbb R^4\)

En considérant les nombres complexes de module 1, soit les points du cercle trigonométrique, on peut représenter tout nombre complexe non nul \(z=x+iy\) sous forme polaire, c’est-à-dire sous la forme \(z=r(\cos t+i\sin t)=(r\cos t,r\sin t)\), avec \(r>0\) le module et \(t\in\mathbb R\) une détermination de l’argument de \(z\). De manière analogue, on peut donner une représentation polaire des quaternions non nuls en considérant les quaternions de norme \(1\). La norme d’un quaternion \(q=(t,x,y,z)=t.1+x.i+y.j+z.k\) est en général entendue comme sa norme arithmétique, c’est-à-dire le nombre réel positif \(N(q)=t^2+x^2+y^2+z^2\), tandis que sa norme euclidienne est \(||q||=\sqrt{t^2+x^2+y^2+z^2}=\sqrt{N(q)}\). L’une ou l’autre permet de définir l’ensemble des quaternions de norme \(1\), soit l’analogue dans \(\mathbb R^4\) d’une sphère de rayon \(1\) . On note cet ensemble \(S^3\), « sphère » de dimension \(3\) comme objet géométrique (de même que la sphère de rayon \(1\) dans \(\mathbb R^3\) est \(S^2\), de dimension \(2\), et que la « sphère » de rayon \(1\) dans \(\mathbb C=\mathbb R^2\) est \(S^1\), le cercle trigonométrique, de dimension \(1\)).

Ecriture polaire d’un quaternion non nul

Pour la représentation polaire des quaternions, la sphère \(S^3\) joue un rôle analogue au cercle trigonométrique dans la représentation polaire des nombres complexes. On peut démontrer qu’un vecteur de \(S^3\) (c’est-à-dire un quaternion de norme \(1\)), est toujours de la forme \((\cos t,(\sin t)V)\) pour un nombre réel \(t\) et un vecteur \(V\) de la sphère \(S^2\) en deux dimensions cette fois-ci, soit un vecteur de \(\mathbb R^3\). Ainsi, si \(q=(t,x,y,z)\) est un quaternion non nul, en le divisant par sa norme euclidienne \(||q||\) on obtient un quaternion de norme \(1\), soit \(q’=\frac{1}{||q||}.q=(\frac{t}{||q||},\frac{x}{||q||},\frac{y}{||q||},\frac{z}{||q||})\), qu’on peut alors écrire sous la forme \((\cos t,(\sin t)V)\). Une écriture polaire de \(q\) est alors donnée par \(q=||q||.(\cos t,(\sin t) V)\).

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