la Règle et le Compas
Une approche philosophique de la science mathématique
La mesure des angles de vecteurs : où l’analyse rencontre l’algèbre
Introduction Dans Angles de vecteurs : intuition géométrique et définition algébrique, nous avons défini et décrit le groupe des angles de vecteurs du plan euclidien de manière algébrique, en utilisant une relation d'équivalence sur les vecteurs unitaires. De même...
Angles de vecteurs : intuition géométrique et définition algébrique
Les angles de vecteurs sont les angles orientés habituels de la géométrie euclidienne plane. Grâce aux ressources de la théorie naïve des ensembles, on les définit de manière purement algébrique grâce à une relation d'équivalence et aux rotations vectorielles du plan....
Rotations vectorielles du plan : l’approche « analytique »
L’exponentielle circulaire et les fonctions trigonométriques
A partir de la fonction exponentielle complexe, on peut définir une fonction "exponentielle circulaire", qui "enroule" la droite réelle sur le cercle trigonométrique, et permet de définir rigoureusement les fonctions trigonométriques cosinus et sinus, qui s'étendent à...
Fonctions analytiques et exponentielle complexe
Certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être décrites "autour de chaque point" comme la somme d'une série dite "entière". Il s'agit des fonctions analytiques, réelles ou complexes, dont l'exemple typique est celui de la fonction exponentielle, qu'on peut...
Une infinité de nombres premiers
Les nombres entiers naturels premiers sont sont ceux qui n'ont pas d'autres diviseurs que 1 et eux-mêmes. Ils existent en nombre infini par le théorème d'Euclide, qui n'est pas difficile à démontrer. Les nombres premiers Diviseurs et nombres premiers Un nombre premier...
Dériver une bijection inverse & l’exemple de la fonction exponentielle
Les relations entre les propriétés de monotonie, continuité et dérivation d'une fonction d'une variable réelle, permettent de dériver formellement la bijection inverse d'une fonction injective et dérivable. L'exemple le plus représentatif est peut-être celui de la...
Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? Des quotients de nombres dans un quotient d’ensemble
L'intuition des nombres rationnels Les nombres rationnels, c'est-à-dire "fractionnaires", comme \(-\frac 1 2, \frac{27}{4}, \frac{312}{-6783},\ldots\), forment un ensemble intuitif qu'on note \(\mathbb Q\). C'est une extension de l'ensemble \(\mathbb Z\) des nombres...
Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ? Une représentation astucieuse
Les nombres entiers relatifs sont une extension des nombres entiers naturels où l'existence d'une soustraction fournit un cadre mieux approprié à certaines questions d'arithmétique. On peut les décrire de manière axiomatique, mais aussi les construire à partir de...
Le cercle trigonométrique : où Pythagore rencontre Thalès
Le cercle trigonométrique permet de définir le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle orienté, et d'en donner une interprétation à travers les théorèmes de Thalès et de Pythagore. Introduction : trigonométrie et fonctions La trigonométrie est l'étude des...
Le produit scalaire naturel : une combinaison numérique de vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs dans un espace réel est un nombre réel qui tient compte de la direction, du sens et de l'amplitude des deux vecteurs. 1.Le produit scalaire naturel dans le plan euclidien 1.1.De la distance entre deux points au produit scalaire...
Polynômes à une indéterminée : la représentation combinatoire des équations
Les polynômes à une indéterminée sont des représentations mathématiques des expressions intervenant dans les équations polynomiales. Ils permettent l'application de méthodes algébriques à la résolution de ces équations 1. Les équations sont des "objets" linguistiques...
Qu’est-ce qu’un nombre complexe ? Une approche géométrique simple
Il existe diverses manières de définir les nombres complexes. La plus directe consiste à les regarder comme les points ou les vecteurs du plan. L'addition et la multiplication se définissent alors grâce aux coordonnées. 1. L'ensemble \(\mathbb C\) des nombres...
Le fini et l’infini mathématiques : comparer et dénombrer
Un ensemble fini, c'est un ensemble qu'on peut dénombrer à l'aide des entiers naturels \(1,\ldots,n\) pour un certain entier naturel \(n\). Mais qu'est-ce que dénombrer ? Et qu'est-ce qu'un ensemble infini ? 1. Comparer des ensembles : la notion de bijection Les...
Tracer un cercle sur le plan : équations et paramètres
La définition d'un cercle est simple : il s'agit d'un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné. Cette distance est appelée le rayon et ce point le centre du cercle. Le cercle de centre \((-1,-\frac 3 2)\) et de rayon \(\sqrt 6\) 1. Les cercles...
Le Plan euclidien : géométrie antique et approche analytique
A partir de l'approche analytique de Descartes, qui consiste à introduire des coordonnées pour représenter les points du plan, et de la construction de Cauchy des nombres réels, on peut donner une représentation moderne du plan à partir de laquelle on retrouve les...
Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ? Définition et interprétation géométrique
La dérivée d'une fonction, c'est sa variation instantanée, autrement dit la pente de la tangente à la représentation graphique de la fonction en ce point 1. Idée générale : une variation instantanée On se place ici dans le cadre des fonctions d'une variable réelle,...
Qu’est-ce qu’un ensemble ? Fonder la mathématique dans l’intuition
La théorie naïve des ensembles ou "science des patates" est le fondement naturel (et compréhensible !) de la science mathématique Introduction : les concepts primitifs "Je sais ce qu'est le temps. Si tu me le demandes, je ne le sais plus." Saint-Augustin Cette...
Qu’est-ce qu’un nombre entier naturel ? Définir ou axiomatiser
La science mathématique ne cherche pas à définir la notion de nombre entier naturel, mais à comprendre l'ensemble des entiers naturels "Dieu a fait le nombre entier, le reste est l'oeuvre des hommes." Leopold Kronecker 1. On ne définit pas les nombres entiers naturels...
Qu’est-ce qu’un nombre réel ? La formidable construction de Cauchy
Les nombres réels sont toutes les "grandeurs" qu'on peut ordonner, et on peut les "construire" de diverses manières grâce à la théorie des ensembles "Les nombres gouvernent le monde." Pythagore Introduction : les grandeurs irrationnelles Les nombres réels idéalisent...
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