MATHESIS
Programme
Le Programme
Le programme suivant est donné à titre indicatif et sera régulièrement mis à jour. Le corpus se divise en trois années de deux semestres chacune. Chaque semestre est un cycle d’apprentissage, lesquels sont donc au nombre de six. Les cours sont numérotés à l’intérieur de chaque semestre ou cycle.
Première année
Semestre I
Le premier cycle de Mathesis vise à mettre en place des bases complètes, à partir de l’intuition des objets mathématiques essentiels de leur conceptualisation élémentaire via la théorie naïve des ensembles et la logique mathématique naturelle. C’est donc d’abord un parcours d’introduction : nous décrivons et axiomatisons les ensembles fondamentaux que sont N (entiers naturels), Z (entiers relatifs), Q (nombres rationnels), R (nombres réels), C (nombres complexes) et H (quaternions), dont nous démontrons les propriétés élémentaires.
C’est l’occasion d’acquérir la méthode mathématique moderne : conceptualisation ensembliste, la rigueur descriptive et démonstrative, apprentissage systématique de la démonstration. Une première théorie mathématique élémentaire permet d’intégrer le premier niveau du système, dans lequel nous abordons de nombreux autres sujets : arithmétique rationnelle, géométrie euclidienne, courbes dans les espaces de dimension supérieure… Tous les sujets sont abordés à un niveau élémentaire à partir de leurs liens naturels, plutôt qu’à partir de théories abstraites. L’étudiant(e) de Mathesis découvrira par exemple l’infini mathématique (cours n°2) et la géométrie différentielle (cours n°6) dès ce premier cycle.
Cours n°1 - Entrer dans l'Univers Mathématique
Ce premier volume de 82 pages de la collection « Mathesis – l’Univers Mathématique » est le premier cours du semestre I de la première année du programme de MATHESIS. Il pose toutes les fondations, théoriques et pratiques, nécessaires à l’apprentissage des mathématiques modernes, et constitue la première étape de cet apprentissage, mais il se suffit aussi à lui-même comme introduction générale au sujet. Le cours se divise en 23 leçons et comporte 45 figures, ainsi que de nombreux exemples et exercices d’un niveau abordable. Il est conçu avec un soin particulier à l’intention de ceux qui veulent apprendre sérieusement les mathématiques mais ont été découragés par leurs échecs, ou qui ne savent pas par où commencer mais veulent débuter sans plus tarder en suivant un cours authentique de niveau universitaire dans un parcours simple, balisé et sans échec. Nous y abordons les ensembles naturels de nombres, des éléments de théorie des ensembles, la logique mathématique naturelle et symbolique, les règles usuelles de démonstration, et nous y démontrons les premiers théorèmes.
Ensembles Naturels, Logique Mathématique et Démonstrations
Découverte de l’univers mathématique. Langage et expression mathématiques. Propriétés des ensembles naturels. Théorie élémentaire des ensembles. Raisonnement mathématique.
Accès Mathesis I.1
Cours n°2 - Ensembles, Applications et Numération
Ce second volume de 67 pages de la collection « Mathesis – l’Univers Mathématique » est le second cours du semestre I de la première année du programme de MATHESIS. Il comporte 18 leçons et 24 figures, et aborde notamment les notions ensemblistes essentielles de produit, de relation et d’application et tous les concepts associés aux fonctions, la conceptualisation mathématique du « nombre d’éléments » d’un ensemble fondée sur les applications bijectives, la numération des ensembles finis et le dénombrement associé à leur combinatoire élémentaire, la définition rigoureuse de l’infini mathématique et ses caractérisations élémentaires. On y prépare en outre la description axiomatique des ensembles infinis N, Z et Q du cours suivant, qui nous permettront d’aborder sainement l’arithmétique élémentaire.
Du Fini à l’Infini Mathématique
Produits, relations et applications. Injections, surjections, bijections et nombre d’éléments. Dénombrement des ensembles finis. Infini mathématique.
Accès Mathesis I.2
Cours n°3 - Arithmétique Elémentaire
Ce troisième volume de 89 pages de la collection « Mathesis – l’Univers Mathématique » est le troisième cours du semestre I de la première année du programme de MATHESIS. Il comporte 19 leçons et 18 figures et aborde notamment l’axiomatisation de Peano de l’ensemble N des entiers naturels et la définition complète de la structure arithmétique de celui-ci, la description axiomatique de l’ensemble Z des nombres entiers relatifs et la théorie élémentaire des nombres premiers entre eux et des nombres premiers, la description axiomatique de l’ensemble Q des nombres rationnels et une extension de l’arithmétique élémentaire via la théorie des valuations et l’étude géométrique de la commensurabilité. Ce cours propose une première approche rigoureuse de l’arithmétique fondée sur la théorie naïve des ensembles et l’infini mathématique, dans une synthèse unique qui prépare la théorie des nombres réels et la géométrie euclidienne du cours suivant.
Des Nombres Entiers Naturels aux Nombres Rationnels
Axiomes et arithmétique de l’ensemble N. Axiomatisation et description de l’ensemble Z, arithmétique. Axiomatisation et description de l’ensemble Q, propriétés arithmétiques.
Accès Mathesis I.3
Cours n°4 - La Droite Réelle et le Plan Euclidien
A paraître prochainement
Des Nombres Réels à la Géométrie Euclidienne
[ Accès Mathesis I.4 ]
Cours n°5 - Analyse Réelle Elémentaire
A paraître prochainement
Continuité, Dérivation, Intégration et Fonctions Naturelles
Cours n°6 - Dimensions Supérieures
A paraître prochainement
Nombres Complexes et Quaternions, Espaces Réels et Coubres Différentiables
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