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la Règle et le Compas

Une approche philosophique de la science mathématique

Définir l’aire du triangle et du parallélogramme

Dans la géométrie intuitive on définit les aires des figures sans justification ou sans démonstration. Dans la géométrie euclidienne moderne, c'est-à-dire analytique, la définition de l'aire du triangle et du parallélogramme se fondent sur des définitions univoques de...
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Loi des cosinus et produit scalaire de deux vecteurs

On rencontre souvent en géométrie et en physique une expression trigonométrique du produit scalaire. A partir d'une définition du cosinus et du sinus d'un angle affine, on peut la démontrer directement grâce aux propriétés élémentaires du produit scalaire. On tire de...
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Anneaux d’entiers quadratiques et nombres premiers

L'anneau des entiers de Gauss \(\mathbb Z[i]\) possède des propriétés remarquables, analogues à celles de l'ensemble \(\mathbb Z\) des nombres entiers relatifs. Il existe toute une famille de tels anneaux, possédant des propriétés similaires, et définis aussi à partir...
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Les corps finis : une approche structurelle de l’arithmétique

Les corps sont les anneaux dont tout élément non nul est inversible. Tous les anneaux intègres finis sont des corps, et tous ces corps finis sont commutatifs. Avec un peu d'algèbre commutative, on peut même décrire entièrement tous les corps finis, qui correspondent...
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Nombres premiers entre eux et inversion modulaire

Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux si ils n'ont pas de facteur premier en commun : il sont donc premiers "l'un par rapport à l'autre". Le nombre des restes modulo un entier naturel non nul $n$ qui sont premiers avec $n$ est ce qu'on appelle l'indicateur...
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Anneaux, homomorphismes et quotients

Nous étudions la structure mathématique naturelle d'anneau, dont l'ensemble $\mathbb Z$ des entiers relatifs est le prototype, et qui permet d'interpréter de nombreux concepts de la théorie des nombres et de la géométrie, à travers notamment les notions...
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Division euclidienne et arithmétique modulaire

La division des entiers naturels ne donne pas toujours un résultat entier, et la division euclidienne donne une meilleure approximation de ce résultat, sous la forme d'un quotient et d'un reste. On peut définir une addition et une multiplication "modulaires" sur les...
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La ramification imaginaire des nombres premiers

Nous savons que les nombres premiers ne demeurent premiers dans l'anneau \(\mathbb Z[i]\) des entiers de Gauss que lorsqu'ils sont sommes de deux carrés. En considérant leurs congruences modulo \(4\), il est possible d'en dire plus : on peut les classer en trois types...
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Un algorithme de calcul des racines carrées

En utilisant la somme des premiers nombres impairs dans l'ordre, on peut définir un algorithme simple de calcul des racines carrées des nombres entiers avec une précision décimale arbitraire. Calcul de la somme des \(n\) premiers entiers naturels impairs Il est,...
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Plus de réels que de rationnels : un argument diagonal par les bases de numération

Dans cet article, nous abordons la question du "comptage" des nombres réels, autrement dit de la détermination du cardinal de l'ensemble \(\mathbb R\). Celui-ci est strictement supérieur au cardinal de l'ensemble des nombres rationnels, ce que nous expliquons de deux...
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L’irrationalité de √2 : une tragédie pythagoricienne

Les tragédies grecques existaient aussi chez les mathématiciens de l'Antiquité. La découverte de la racine carrée du nombre 2 est le sujet de l'une d'entre elles, qui a trouvé une fin heureuse à l'époque moderne. Un disciple de Pythagore "mesure" la diagonale du carré...
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L’orientation du plan euclidien : bases et angles

L'intuition visuelle à travers laquelle nous représentons le plan euclidien suggère que nous puissions l'orienter selon un sens de rotation. Cette intuition reflète une définition mathématique rigoureuse de l'orientation du plan, qui consiste à choisir une base, et...
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Le paradoxe de Russell et la théorie des classes

Le paradoxe ou antinomie de Russell est un paradoxe très simple de la théorie naïve des ensembles, qui surgit lorsqu'on cherche à définir un "ensemble de tous les ensembles". Sa résolution repose sur l'introduction de la notion de classe et la distinction des...
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Les transformations linéaires du plan : déterminant, bases et inversion

Les transformations linéaires du plan euclidien sont les applications linéaires inversibles, c'est-à-dire de déterminant non nul. Elles permettent de passer d'une base du plan à une autre, et les transformations orthogonales, c'est-à-dire les isométries vectorielles,...
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Les bases du plan euclidien : vecteurs et coordonnées

La représentation du plan euclidien par le produit cartésien \(\mathbb R^2\) permet de décomposer tout vecteur du plan en deux coordonnées, son abscisse et son ordonnée. Cette décomposition est liée à un "système de représentation" particulier et naturel, qu'on...
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L’espace euclidien : points, vecteurs et produit scalaire

La méthode analytique de Descartes, qui permet de représenter le plan euclidien comme le produit cartésien \(\mathbb R^2\) grâce à la théorie des nombres réels, permet également de représenter l'espace euclidien comme le produit cartésien \(\mathbb R^3=\mathbb...
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Les quaternions de Hamilton : un espace-temps algébrique

La multiplication complexe se prolonge naturellement à une multiplication en quatre dimensions, qui définit sur l'espace \(\mathbb R^4\) la structure de l'algèbre \(\mathbb H\) des quaternions de Hamilton. Cette multiplication s'interprète géométriquement à partir du...
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Les entiers de Gauss : une arithmétique imaginaire

Les entiers de Gauss sont les nombres complexes à coordonnées entières. Grâce à leur norme, sorte de mesure entière de leur taille, on peut décrire certaines de leurs propriétés arithmétiques. En particulier, on peut effectuer des divisions euclidiennes et déterminer...
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Une définition analytique du nombre π

Introduction Lorsque nous avons introduit l'exponentielle circulaire, les fonctions trigonométriques cosinus et sinus ont été définies comme sa partie réelle et sa partie imaginaire. Nous en avons alors tiré les expressions analytiques : \(\cos x=\sum_{n=0}^{+\infty}...
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La mesure des angles de vecteurs : où l’analyse rencontre l’algèbre

Introduction Dans Angles de vecteurs : intuition géométrique et définition algébrique, nous avons défini et décrit le groupe des angles de vecteurs du plan euclidien de manière algébrique, en utilisant une relation d'équivalence sur les vecteurs unitaires. De même...
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Angles de vecteurs : intuition géométrique et définition algébrique

Les angles de vecteurs sont les angles orientés habituels de la géométrie euclidienne plane. Grâce aux ressources de la théorie naïve des ensembles, on les définit de manière purement algébrique grâce à une relation d'équivalence et aux rotations vectorielles du plan....
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Rotations vectorielles du plan : l’approche « analytique »

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L’exponentielle circulaire et les fonctions trigonométriques

A partir de la fonction exponentielle complexe, on peut définir une fonction "exponentielle circulaire", qui "enroule" la droite réelle sur le cercle trigonométrique, et permet de définir rigoureusement les fonctions trigonométriques cosinus et sinus, qui s'étendent à...
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Fonctions analytiques et exponentielle complexe

Certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être décrites "autour de chaque point" comme la somme d'une série dite "entière". Il s'agit des fonctions analytiques, réelles ou complexes, dont l'exemple typique est celui de la fonction exponentielle, qu'on peut...
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Une infinité de nombres premiers

Les nombres entiers naturels premiers sont sont ceux qui n'ont pas d'autres diviseurs que 1 et eux-mêmes. Ils existent en nombre infini par le théorème d'Euclide, qui n'est pas difficile à démontrer. Les nombres premiers Diviseurs et nombres premiers Un nombre premier...
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Dériver une bijection inverse & l’exemple de la fonction exponentielle

Les relations entre les propriétés de monotonie, continuité et dérivation d'une fonction d'une variable réelle, permettent de dériver formellement la bijection inverse d'une fonction injective et dérivable. L'exemple le plus représentatif est peut-être celui de la...
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Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? Des quotients de nombres dans un quotient d’ensemble

L'intuition des nombres rationnels Les nombres rationnels, c'est-à-dire "fractionnaires", comme \(-\frac 1 2, \frac{27}{4}, \frac{312}{-6783},\ldots\), forment un ensemble intuitif qu'on note \(\mathbb Q\). C'est une extension de l'ensemble \(\mathbb Z\) des nombres...
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Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ? Une représentation astucieuse

Les nombres entiers relatifs sont une extension des nombres entiers naturels où l'existence d'une soustraction fournit un cadre mieux approprié à certaines questions d'arithmétique. On peut les décrire de manière axiomatique, mais aussi les construire à partir de...
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Le cercle trigonométrique : où Pythagore rencontre Thalès

Le cercle trigonométrique permet de définir le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle orienté, et d'en donner une interprétation à travers les théorèmes de Thalès et de Pythagore. Introduction : trigonométrie et fonctions La trigonométrie est l'étude des...
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Le produit scalaire naturel : une combinaison numérique de vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs dans un espace réel est un nombre réel qui tient compte de la direction, du sens et de l'amplitude des deux vecteurs. 1.Le produit scalaire naturel dans le plan euclidien 1.1.De la distance entre deux points au produit scalaire...
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Polynômes à une indéterminée : la représentation combinatoire des équations

Les polynômes à une indéterminée sont des représentations mathématiques des expressions intervenant dans les équations polynomiales. Ils permettent l'application de méthodes algébriques à la résolution de ces équations 1. Les équations sont des "objets" linguistiques...
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Qu’est-ce qu’un nombre complexe ? Une approche géométrique simple

Il existe diverses manières de définir les nombres complexes. La plus directe consiste à les regarder comme les points ou les vecteurs du plan. L'addition et la multiplication se définissent alors grâce aux coordonnées. 1. L'ensemble \(\mathbb C\) des nombres...
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Le fini et l’infini mathématiques : comparer et dénombrer

Un ensemble fini, c'est un ensemble qu'on peut dénombrer à l'aide des entiers naturels \(1,\ldots,n\) pour un certain entier naturel \(n\). Mais qu'est-ce que dénombrer ? Et qu'est-ce qu'un ensemble infini ? 1. Comparer des ensembles : la notion de bijection Les...
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Tracer un cercle sur le plan : équations et paramètres

La définition d'un cercle est simple : il s'agit d'un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné. Cette distance est appelée le rayon et ce point le centre du cercle. Le cercle de centre \((-1,-\frac 3 2)\) et de rayon \(\sqrt 6\) 1. Les cercles...
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Le Plan euclidien : géométrie antique et approche analytique

A partir de l'approche analytique de Descartes, qui consiste à introduire des coordonnées pour représenter les points du plan, et de la construction de Cauchy des nombres réels, on peut donner une représentation moderne du plan à partir de laquelle on retrouve les...
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Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ? Définition et interprétation géométrique

La dérivée d'une fonction, c'est sa variation instantanée, autrement dit la pente de la tangente à la représentation graphique de la fonction en ce point 1. Idée générale : une variation instantanée On se place ici dans le cadre des fonctions d'une variable réelle,...
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Qu’est-ce qu’un ensemble ? Fonder la mathématique dans l’intuition

La théorie naïve des ensembles ou "science des patates" est le fondement naturel (et compréhensible !) de la science mathématique Introduction : les concepts primitifs "Je sais ce qu'est le temps. Si tu me le demandes, je ne le sais plus." Saint-Augustin Cette...
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Qu’est-ce qu’un nombre entier naturel ? Définir ou axiomatiser

La science mathématique ne cherche pas à définir la notion de nombre entier naturel, mais à comprendre l'ensemble des entiers naturels "Dieu a fait le nombre entier, le reste est l'oeuvre des hommes." Leopold Kronecker 1. On ne définit pas les nombres entiers naturels...
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Qu’est-ce qu’un nombre réel ? La formidable construction de Cauchy

Les nombres réels sont toutes les "grandeurs" qu'on peut ordonner, et on peut les "construire" de diverses manières grâce à la théorie des ensembles "Les nombres gouvernent le monde." Pythagore Introduction : les grandeurs irrationnelles Les nombres réels idéalisent...
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