Axiomes et structure de l’ensemble $\mathbb N$ des entiers naturels [C1.III.1]

1. L’arithmétique de Peano

Les axiomes de Peano concernent la fonction successeur $s:\mathbb N\to \mathbb N$, qui intuitivement « ajoute $1$ » à chaque entier naturel.
Ces axiomes permettent de reconstruire toute la structure arithmétique de l’ensemble $\mathbb N$ des nombres naturels, et à partir de la théorie naïve des ensembles, tous les objets et structures mathématiques.

Axiome 1
\(0\) n’est le successeur d’aucun entier naturel. En d’autres termes, il n’existe pas d’entier naturel \(n\) tel que \(s(n)=0\).

Cet axiome dit en particulier que la fonction \(s\) n’est pas surjective, puisque le nombre \(0\) ne possède pas d’antécédent par \(s\).

Axiome 3
Si deux entiers naturels \(m\) et \(n\) ont le même successeur, alors ils sont égaux. En d’autres termes, pour tous entiers naturels \(m,n\), si \(s(m)=s(n)\) alors \(m=n\).

On peut reformuler cet axiome en disant que l’application successeur est injective. Elle définit donc une bijection de \(\mathbb N\) sur \(s(\mathbb N)\). On reconnaît ici la caractérisation d’un ensemble infini.

Proposition 1
L’ensemble \(\mathbb N\) des nombres entiers naturels est infini.

Axiome 3 [Principe de récurrence]
Si \(S\) est un sous-ensemble de \(\mathbb N\) tel que :
i) \(0\in S\)
ii) pour tout \(n\in S\), \(s(n)\in S\) (« étape de récurrence »),
alors on a \(S=\mathbb N\).

Ce principe exprime intuitivement que l’ensemble \(\mathbb N\) est entièrement « parcouru » si nous l’énumérons à partir de \(0\) et ajoutons chaque entier naturel successif, de manière indéfinie.

On peut en déduire la détermination de l’image de \(s\) :

Proposition 2
Si on admet le principe de récurrence, alors l’image de \(s\) est \(\mathbb N^*\), l’ensemble des entiers naturels non nuls.

Démonstration
Soit \(S\) l’ensemble \(\{0\}\cup Im(s)=\{0\}\cup\{n\in \mathbb N: \exists m\in\mathbb N,\ n=s(m)\}\). Si nous montrons que \(S=\mathbb N\), alors tout entier naturel non nul est dans l’image de \(s\), donc \(Im(s)=\mathbb N^*\). Par définition, on a \(0\in S\), et supposons que \(n\) est un entier naturel, et que \(n\in S\). Par définition, l’entier naturel \(s(n)\) est dans \(S\) ! Par le principe de récurrence, l’ensemble \(S\) est \(\mathbb N\) tout entier, et la proposition est démontrée. \(\square\)

2. Les démonstrations par récurrence

Le raisonnement par récurrence (ou par induction) est peut-être le plus emblématique de la science mathématique et celui qui fascine et déconcerte le plus.