L’univers mathématique [C1.I.1]
1. Les objets de la science mathématique
1.1. Objets et intuition
Traditionnellement, les mathématiciens ont cherché à conceptualiser et théoriser des notions intuitives telles que les nombres, les figures, les grandeurs, les formes… et dans les temps modernes et contemporains les objets de la mathématique se sont étendus, avec le développement de la mathématique elle-même, mais aussi l’avènement de la science expérimentale et de la technique moderne, aux espaces, aux fonctions, aux ensembles, aux langages formels, etc.
Par ailleurs, les mathématiciens ont toujours été intéressés par des sujets majeurs comme l’infini, le continu et l’espace.
Comme toute autre science, la mathématique est enracinée dans l’intuition de son ou de ses objet(s). Les exemples précédents soulignent la diversité historique des objets de la science mathématique, et posent la question de l’unité de la discipline.
Il semble que ce que tous ces exemples – et les nouveaux qui apparaissent – ont en commun, est que la mathématique traite essentiellement, d’une manière ou d’une autre, de multiplicités} : les nombres sont la forme des multiplicités finies, les figures et les formes sont des multiplicités géométriques, les grandeurs sont des multiplicités idéales, etc.
1.2. Le problème de la rigueur en mathématiques
Un problème récurrent de l’histoire de notre science est celui de la rigueur : la mathématique procède avec des preuves plutôt qu’avec des expériences, et prétend ainsi à l’exactitude.
L’activité mathématique n’est cependant jamais exempte d’erreurs, lesquelles proviennent d’un manque de clarté soit dans l’appréhension des objets mathématiques, soit dans le maniement du discours mathématique, notamment démonstratif.
Si la mathématique s’enracine dans l’intuition, celle-ci est aussi le ferment de la créativité mathématique. Il est toutefois nécessaire de la compléter par une méthode rigoureuse de description et de définition des objets mathématiques d’une part, d’articulation du raisonnement mathématique d’autre part.
En fait, déterminer la nature des objets mathématiques et élaborer une méthode mathématique rigoureuse semblent être deux problèmes impliqués l’un dans l’autre, et la théorie des ensembles et sa logique mathématique sous-jacente ont fourni les moyens adéquats pour résoudre les deux.
1.3. La contribution décisive de la théorie des ensembles
La naissance de la théorie des ensembles à la fin du dix-neuvième siècle avec Cantor, et de la logique mathématique moderne avec Frege à la même époque, ont permis d’adresser les deux questions suivantes, qui reflètent la double problématique précédente :
i) Existe-t-il une unité dans la diversité des objets de la science mathématique ?
ii) Quelle est la méthode rigoureuse en mathématique ?
La notion d’ensemble capture sur le plan théorique ce que nous entendons par l’idée de « multiplicité », et tout objet mathématique peut virtuellement se concevoir ou se représenter comme un ensemble.
La théorie des ensembles est donc une théorie des « multiplicités » abstraites, notamment de leurs propriétés et des » constructions » dont elles sont l’objet, et elle fournit un cadre théorique universel qui est le langage conceptuel de ce que la mathématique est devenue.
Cette théorie, extrêmement naturelle et puissante, fournit également la base d’une méthode mathématique claire, essentiellement articulée à la définition des objets et du discours, descriptif et démonstratif, qui les concerne.
En somme, l’univers mathématique possède une structure « ensembliste », et le discours mathématique est modelé sur cette structure, avec sa syntaxe et sa logique.
2. La notion d’ensemble et les exemples naturels
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Si il y a diversité des objets mathématiques, pourquoi y chercher une unité ?
« Méthode rigoureuse »? En quoi une méthode serait-elle rigoureuse ? Cohérents, efficace… oui, mais rigoureuse.
C’est le propre de la science que de chercher une unité à son objet, afin de délimiter son champ d’étude : pensez à la physique et à la biologie, qui sont identifiées en quelque sorte par leur objet générique, ainsi qu’à leurs sous-domaines, comme en mathématiques d’ailleurs.
De plus, l’unité de l’objet charrie avec elle une unité d’approche, et donc une cohérence méthodologique. Un champ disciplinaire qui s’intéresserait à des objets hétérogènes ne pourrait pas développer de méthodologie spécifique.
En mathématique, c’est précisément l’identification du concept unificateur d’ensemble qui a permis de clarifier entièrement la méthodologie mathématique, et d’atteindre justement à la rigueur.
Car c’est aussi le propre de la science moderne que de rechercher une méthode rigoureuse, afin de s’assurer la validité de ses résultats. Dans les mathématiques « classiques » l’absence d’une telle méthode a conduit à des erreurs de raisonnement fâcheuses chez les meilleurs mathématiciens.
Et c’est le point de vue adopté sur Mathesis que la mathématique est « science de l’infini » (H. Weyl). Cette quête d’unité et de rigueur remonterait d’ailleurs à Pythagore, qui dit-on aurait introduit la logique de l’organon philosophique dans les mathématiques, afin de transformer une somme de connaissances empiriques et disparates en un discours qui s’établit sous la forme de propositions qu’il faut démontrer rigoureusement.