Je m’appelle Jean Barbet, je suis diplômé de sciences expérimentales (Maîtrise de Biologie et 3ème cycle de Sciences de l’environnement) et Docteur en Mathématiques pures (Université Lyon 1, 2010). Je suis mathématicien indépendant et j’ai enseigné les mathématiques pendant plus de dix ans.

Après une expérience techno-scientifique de la recherche en écophysiologie, je me suis reconverti en mathématiques. Inscrit en 3ème année de Licence, j’ai expérimenté les limites matérielles de l’enseignement universitaire (restriction du volume des contenus, concentration sur l’algèbre et l’analyse, approches multiples…). J’ai comblé mes lacunes et complété mon apprentissage en entreprenant une intégration des connaissances mathématiques. En ajoutant des éléments substantiels mais fondamentaux (notamment en théorie des nombres, géométrie et logique mathématique), j’ai élaboré un « système de mathématiques supérieures », baptisé Mathesis.

Je souhaite transmettre ce système comme un corpus écrit et un cursus en ligne pour rendre accessible à tous le « noyau » des mathématiques « essentielles ». Le corpus est conçu comme une somme complète et auto-suffisante, correspondant à une Licence de mathématiques (Bac +3) du meilleur niveau, augmentée de compléments substantiels. L’objectif de Mathesis est de permettre à quiconque d’apprendre l’essentiel de la mathématique supérieure par soi-même.

Vous trouverez plus d’informations sur le cursus et une description détaillé de l’approche et du programme sur Mathesis – Explorez l’Infini et l’ensemble des publications associées sur Mathesis – e-Books.

Ce deuxième cours ou volume du semestre I de la première année du cursus de MATHESIS est entièrement réalisé par mes soins. Il est conçu pour vous aider à appréhender rapidement et solidement les concepts essentiels et structurants du fini et de l’infini mathématiques.

C‘est l’occasion de compléter les bases de théorie naïve des ensembles acquises au premier cours, par les notions fondamentales de produit cartésien, de relation et d’application, qui permettent de développer la théorie rigoureuse des fonctions, à partir de laquelle on peut véritablement parler du « nombre d’éléments » d’un ensemble (ou plutôt, de la notion d’équipotence, qui compare mathématiquement les nombres d’éléments). 

C‘est aussi l’occasion d’aborder les bases de la « combinatoire » ou théorie des ensembles finis, à travers la numération de ces ensembles (attribution d’un cardinal ou nombre d’éléments) et le dénombrement des ensembles finis qu’on peut peut construire à partir d’autres ensembles finis; il est question notamment de coefficients binomiaux et de permutations.

La théorie des ensembles infinis, définis à partir des ensembles finis, repose sur les mêmes principes, et donne lieu à leur caractérisation intrinsèque par les concepts primitifs de la théorie des ensembles, ce qui est déjà un accomplissement significatif dans l’apprentissage mathématique. Entre le fini et l’infini, nous abordons l’étude essentielle de l’ensemble N des entiers naturels, à travers sa fonction successeur, sur laquelle repose l’axiomatisation de l’arithmétique que nous aborderons au cours suivant, et l’étude des autres ensembles mathématiques naturels, qui sera abordée dans la suite du semestre.

Il est certain que la simple lecture de ce fascicule ne vous transformera pas du jour au lendemain en expert des mathématiques. Il vous faudra suivre les conseils de travail que je vous donne au début du cours, et surtout travailler avec régularité et persévérance, sans jamais vous décourager. Je vous en dis plus dans le livre, mais vous devrez analyser des démonstrations et faire des exercices.

Ce que vous allez apprendre et comprendre dans ce second cours est une voie sûre et accessible vers la connaissance du fini et de l’infini mathématiques; le contenu du premier cours est toutefois considéré comme un prérequis, notamment ce qui concerne la théorie naïve des ensembles et la logique élémentaire. La mathématique est avant tout une science, vous y trouverez donc de la théorie ; mais on comprend en faisant, et vous aurez souvent à résoudre des exercices et des problèmes pour mettre en œuvre le cours, ce que je vous proposerai dans la plupart des leçons. Vous devez être conscient de l’effort qu’il faut fournir, et qu’il ne suffira pas de lire ce livre comme un roman pour dompter l’infini mathématique. Vous êtes responsable de votre succès, mais j’ai tout fait pour vous guider pas-à-pas, sans échec, comme je l’ai déjà fait pour de nombreux élèves et étudiants.

18 leçons de niveau supérieur, intégrant la théorie et la pratique, pour appréhender rigoureusement le fini et l’infini mathématiques