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Plus de nombres réels que de rationnels : un argument diagonal par les bases de numération

Dans cet article, nous abordons la question du « comptage » des nombres réels, autrement dit de la détermination du cardinal de l’ensemble \(\mathbb R\). Celui-ci est strictement supérieur au cardinal de l’ensemble des nombres rationnels, ce que nous expliquons de deux manières différentes à partir de la théorie des bases de numération entières, qui s’étend des nombres entiers naturels aux nombres réels positifs.

Bases de numération de l’ensemble \(\mathbb N\)

Principe des bases de numération : du système décimal aux entiers naturels

Le principe des bases de numération est le fondement théorique sous-jacent à la numération traditionnelle en unités, dizaines, centaines, milliers, etc… Cette numération traditionnelle n’en est qu’un cas particulier, correspondant à la numération et au comptage « en base \(10\) ». On peut choisir cependant n’importe quel nombre entier naturel \(b\) supérieur à \(2\) comme base : le principe de la numération dans cette base consiste à décomposer tout entier naturel par rapport aux puissances de \(b\). Autrement dit, le nombre \(b\) est une « mesure de comptage », au sens où l’on forme des « échelles » à partir de \(b\), permettant, par analogie avec les divisions d’une unité de mesure, d’exprimer les nombres entiers naturels.

Si l’on reprend l’exemple courant de la base \(10\), l’idée se décline de la manière suivante : les différentes « échelles » de comptage correspondent aux groupements échelonnés par groupes de dix : unités, puis dizaines, puis dizaines de dizaines (c’est-à-dire centaines), puis dizaines de centaines (c’est-à-dire milliers). Le cas général correspond donc à la prise en compte des puissances successives du nombre \(b\) : \(b^0=1,b^1=b,b^2,b^3,\ldots\). Comme dans le cas du système décimal, la représentation des nombres doit alors commencer par « les plus grandes puissances de la base \(b\) ».

Procédé de décomposition d’un entier naturel dans une base quelconque

Pour être plus précis, décrivons de manière plus formelle le procédé. Etant donné un nombre entier naturel \(n\), deux cas se présentent : soit \(n=0\), soit \(n\) est non nul. Lorsque \(n=0\), la décomposition est toujours la même : le chiffre des « unités » est \(0\), et il n’y a pas d’autre chiffre. Lorsque \(n\) n’est pas nul, on a \(n>0\), autrement dit \(n\geq 1\) ; cette remarque très simple est pourtant fondamentale, puisque \(1=b^0\), si bien que la décomposition ne sera pas triviale : il existe au moins une puissance de \(b\) qui est inférieure au nombre \(n\). On va alors chercher la plus grande puissance \(k\) de \(b\) ayant cette propriété, c’est-à-dire telle que \(b^k\leq n\) : c’est la « plus grande échelle de comptage » associée à la base \(b\), par rapport à laquelle on va décomposer le nombre \(n\), et dont l’existence doit être démontrée (par exemple, par récurrence).

En effet, par définition de \(k\), on a les inégalités \(b^k\leq n <b^{k+1}\), et on va effectuer une division euclidienne de \(n\) par \(b^k\) pour déterminer le « chiffre des \(b^k\)-aines » : on peut écrire \(n=a_k.b^k+r\), où \(a_k\) est le quotient, et \(r\) le reste, de la division de \(n\) par \(b^k\). Les nombres \(a_k\) et \(r\) ont des propriétés très particulières : d’une part, on a \(r<b^k\) par définition du reste, d’autre part \(a_k\) ne peut qu’être un nombre entier naturel compris au sens large entre \(1\) et \(b-1\), car \(a_k=0\) entraînerait la situation impossible où \(n=r<b^k\), et \(a_k\geq b\) entraînerait la situation impossible où \(n\geq b^{k+1}\). Puisque le reste \(r\) est désormais \(<b^k\), on peut appliquer le même algorithme à \(r\) à partir de \(b^{k-1}\), et ainsi de suite : puisque la « plus grande puissance » de \(b\) inférieure au reste diminue à chaque étape, en un nombre fini d’étapes on obtient une décomposition de \(n\) en puissances de \(b\).

La décomposition b-adique d’un entier naturel

Une telle décomposition est par définition une somme de la forme \[n=a_0+a_1.b+a_2.b^2+\ldots +a_{k-1}b^{k-1}+a_kb^k,\] qu’on note savemment \(\sum_{i=0}^k a_i.b^i\), et où les nombres \(a_i\) sont tous compris entre \(0\) et \(b-1\) et \(a_k\) est différent de zéro lorsque \(n\neq 0\). Il s’agit de la « décomposition \(b\)-adique de \(n\) ». Par le procédé expliqué précédemment, une telle décomposition existe toujours, mais bien entendu il faudrait le démontrer rigoureusement, en procédant de manière un peu différente de l’explication et en s’appuyant sur quelques résultats auxiliaires. On établirait alors également qu’une telle décomposition est toujours unique, autrement dit que pour un entier naturel \(n\) donné, il n’existe qu’une seule écriture de \(n\) dans la base \(b\) choisie. Convenons d’écrire la décomposition théorique obtenue précédemment sous la forme \(a_k,a_{k-1},\ldots,a_2,a_1,a_0\), pour reprendre l’écriture positionnelle du système décimal, mais en introduisant des virgules pour souligner que la base est différente.

Par exemple, décomposons le nombre \(363\) en base \(5\) : \(5^3=125\) est la plus grande puissance de \(5\) inférieure à \(363\), puisque \(5^4=625\). Une division euclidienne nous donne \(363=125\times 2+113\), donc le chiffre des « \(125\)-aines » est \(2\). On recommence l’opération avec \(5^2=25\leq 113\), on obtient \(113=25\times 4+13\) (le chiffre des « \(25\)-aines » est \(4\)), puis avec \(5^1=5\leq 13\), pour obtenir \(13=5\times 2+3\), et finalement la décomposition cherchée est \(363=3.5^3+4.5^3+2.5^1+3.5^0\). L’écriture de \(363\) en base \(5\) est donc \(3,4,2,3\) ! Notons que la base \(2\) est l’origine de l’écriture binaire des nombres, notamment en informatique, et que d’autres bases sont utilisées dans différents contextes (la base \(16\) en informatique également, la base \(60\) dans la mesure du temps !).

Autre exemple de décomposition, du nombre \(48=0 \times 3 1+1\times 3+2 \times 3^2+1 \times 3^3\) en base \(3\) : le chiffre des unités est \(0\), celui des « \(3\)-aines » est \(1\), celui des « \(9\)-aines » est \(2\) et celui des « \(27\)-aines » est \(1\). L’échelle des abscisses est « géométrique » : on passe d’une graduation à l’autre par une multiplication par \(3\).

Extension des décompositions des entiers naturels aux nombres réels positifs

Extension aux nombres rationnels positifs

Il est possible d’étendre les décompositions dans une base entière à d’autres nombres que les entiers naturels. Cependant, sous cette forme ceci n’est possible que pour certains nombres. Notons premièrement que la forme des décompositions comme sommes de nombres positifs exclut qu’on puisse les appliquer aux entiers négatifs. Notons ensuite que comme dans le système décimal, en général on peut considérer les puissances négatives de la base \(b\) (c’est-à-dire \(b^{-1}=1/b,b^{-2}=1/b^2,\ldots,b^{-n}=1/b^n,\ldots\)), pour envisager étendre les décompositions aux nombres rationnels. Cependant, ici aussi on ne peut les appliquer a priori qu’aux rationnels positifs : la décomposition des nombres entiers et rationnels négatifs dans une base numérique est possible, en procédant de manière analogue mais « dans l’autre sens », et seulement avec des nombres premiers : c’est la théorie des nombres p-adiques, que nous n’abordons pas ici.

Cependant, les développements de nombres rationnels positifs dans une base numérique peuvent devenir infinis (selon la base choisie), même pour des nombres s’écrivant de manière très simple en base \(10\), comme le montre l’exemple suivant. En base \(3\), le nombre \(10/3\) se décompose grâce à une division euclidienne : on a \(10=3\times 3+1\), donc \(10/3=1+1/3\) : le chiffre des unités est \(1\), le chiffre des « tiers » est \(1\). Mais il est bien connu que le développement de \(10/3\) en base \(10\) est infini, de la forme \(3,333\ldots\), les points signifiant « une infinité de \(3\) ». Ce développement se décrit en effet très bien en analyse : la somme infinie \(\sum_{n=0}^{\infty} 1/10^n\) est la somme d’une série géométrique de raison \(1/10\), et dont la valeur est \(1/(1-1/10)\), soit \(10/9\). Ainsi, on a \(10/3=3\times (10/9)=3\times \sum_{n=0}^\infty 1/10^n=\sum_{n=0}^\infty 3/10^n=3+3/10+3/10^2+\ldots\), ce qui est bien le développement annoncé.

Partie entière et extension aux réels positifs

Ainsi, l’extension de la décomposition des entiers naturels aux rationnels positifs dans une base numérique entière naturelle \(b\geq 2\) nous amène déjà à considérer la complexité maximale de la théorie, qui concerne les nombres réels positifs. Cette théorie va nous permettre de démontrer qu’il existe plus de nombres réels positifs que de nombres rationnels positifs (ou d’entiers naturels), et donc qu’il existe plus de nombres réels que de nombres rationnels (ou entiers). La décomposition procède en quelque sorte de manière analogue au cas des entiers naturels. Si \(x\) est un nombre réel positif non nul, à la première étape on considère la plus grande puissance \(b^k\) de \(b\) qui est inférieure à \(x\), de sorte qu’on peut écrire \(b^k\leq x< b^{k+1}\); il existe un unique entier naturel \(a_k<b\) tel que \(a_k.b^k\leq x<(a_k+1).b^{k}\), c’est-à-dire qu’on détermine le plus grand multiple entier de \(b^k\) qui est inférieur à \(x\). La méthode utilisée remplace l’usage de la division euclidienne (pour les entiers naturels) par celui de la partie entière, qui la prolonge : la partie entière d’un nombre réel \(y\) est le plus grand entier relatif \(n\), noté \(E(y)\), tel que \(n\leq y < n+1\). On choisit donc ici \(a_k\) comme la partie entière du nombre réel \(x/b^k\), de sorte que \(E(x/b^k)\leq x/b^k<E(x/b^k)+1\), si bien que \(E(x/b^k).b^k\leq x < [E(x/b^k)+1].b^k\), et on pose \(a_k=E(x/b^k)\) : c’est le premier chiffre de la décomposition \(b\)-adique de \(x\).

A partir de cette première étape, nous disposons d’un « reste », comme dans le cas des entiers naturels : il s’agit du nombre réel positif \(r=x-a_k.b^k\), soit \(r=x-(E(x/b^k)).b^k\). La suite de la décomposition va alors consister à appliquer de nouveau le même algorithme au reste \(r\) s’il n’est pas nul, pour faire apparaître le « chiffre suivant », c’est-à-dire l’entier naturel \(a_{k-1}<b\) tel que \(a_{k-1}b^{k-1}\leq r < (a_{k-1}+1).b^{k-1}\). En effet, par choix de \(a_k\), on a l’inégalité \(r< b^k\), et soit la plus grande puissance de \(b\) inférieure à \(r\) est \(b^{k-1}\) (auquel cas on aura un coefficient \(a_{k-1}\) non nul), soit c’est une puissance inférieure (auquel cas on aura un coefficient \(a_{k-1}=0\)). Dans le cas où \(x\geq 1\), en un nombre fini d’étapes on aboutit d’abord à une décomposition \(b\)-adique de la partie entière de \(x\), soit \(E(x)=a_k.b^k+a_{k-1}.b^{k-1}+\ldots +a_1.b+a_0=\sum_{i=0}^k a_i.b^i\).

Décomposition de la partie fractionnaire

Il restera alors éventuellement la partie fractionnaire de \(x\) à développer, soit le nombre réel positif \(s=x-E(x)<1\). Le procédé est toujours le même, mais cette fois-ci on commence à travailler avec des puissances strictement négatives de \(b\), comme dans l’exemple rationnel donné plus haut. En général, on peut obtenir un développement infini de cette partie fractionnaire, sous la forme \(a_{-1}.b^{-1}+a_{-2}.b^{-2}+\ldots +a_{-i}.b^{-i}+\ldots\), qu’on écrit savamment sous la forme \(\sum_{i=1}^{\infty} a_{-i}.b^{-i}\). Le développement ou décomposition du nombre \(x\) en base \(b\) est alors \(x= [\sum_{i=0}^k a_i.b^i] + [\sum_{i=1}^{\infty} a_{-i}.b^{-i}]\), en séparant partie entière et partie fractionnaire. Dans le cas où \(x<1\), la partie entière est nulle, et seule demeure la deuxième partie de la décomposition. C’est cette situation que nous allons exploiter pour démontrer qu’il existe plus de nombres réels que de nombres entiers. Notons que lorsque \(x\) est un entier naturel, il est égal à sa partie entière, et que bien sûr les deux développements coïncident.

Plus de nombres réels que de nombres rationnels !

Comparer les nombres d’éléments de \(\mathbb R\) et de \(\mathbb Q\)

A l’aide de méthodes élémentaires (mais aussi d’un peu de travail) en théorie naïve des ensembles, on peut démontrer que les ensembles infinis \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\) et \(\mathbb Q\) ont le « même nombre d’éléments », autrement dit qu’il existe des bijections entre chacun de ces ensembles. Et puisque l’ensemble \(\mathbb Q\) peut être considéré comme un sous-ensemble de l’ensemble \(\mathbb R\), ce dernier a au moins autant d’éléments que l’ensemble \(\mathbb Q\). Or, comme il existe plusieurs quantités finies, il existe de même plusieurs quantités infinies, et il est remarquable que l’ensemble \(\mathbb R\) possède strictement plus d’éléments que l’ensemble \(\mathbb Q\), et qu’on puisse le démontrer. Pour cela, nous allons en fait utiliser les développements dans une base numérique, pour démontrer un résultat apparenté : il existe strictement plus de nombres réels \(x\) positifs et strictement inférieurs à \(1\) (ce qu’on appelle l’intervalle \([0,1[\)) que de nombres entiers naturels. En effet, il y a plus de nombre réels que de nombres réels dans \([0,1[\) (il y en a en fait autant), et il y a autant de nombres rationnels que d’entiers naturels ! On peut donc avantageusement se ramener à ce nouveau problème.

Représenter les nombres réels dans \([0,1[\) par des suites d’entiers naturels

La première chose à noter est que le développement \(b\)-adique d’un nombre réel \(x\) quelconque obtenu par l’algorithme précédent est un développement propre, c’est-à-dire, en choisissant \(x\) dans l’intervalle \([0,1[\) pour ne pas avoir à s’occuper de la partie entière, que les coefficients \(a_{-i}\) dans l’écriture \(x=\sum_{i=1}^\infty a_{-i}.b^{-i}\) ne sont pas tous égaux à \(b-1\) (le plus grand coefficient possible) à partir d’un certain rang. Par exemple, le développement \(0,3867999…\) en base \(10\) est impropre, tandis qu’il est propre en base \(b>10\). Puisque pour \(x\in [0,1[\), seules des puissances strictement négatives de \(b\) interviennent dans le développement \(b\)-adique, nous allons changer de notation pour écrire positivement les indices des coefficients (ce qui ne change rien au problème) : le développement de \(x\) sera noté \(\sum_{i=1}^\infty a_i.b^{-i}\), de sorte que la suite des coefficients \(a_1,\ldots,a_i,\ldots\) décrit ce développement. Or, chaque développement de cette forme, autrement dit chaque suite de la forme \(a_1,a_2,\ldots,a_i,\ldots\) avec \(a_{i}<b\) des nombres entiers naturels non égaux à \(b-1\) à partir d’un certain rang, détermine également un nombre réel, dont elle fournit les coefficients du développement (en termes savants, on dit que la série \(\sum_{i\geq 1} a_i.b^{-i}\) converge vers un nombre réel dans \([0,1[\)). La clef de la démonstration suivante est qu’il existe ainsi une bijection entre les nombres réels dand \([0,1[\) et les développements \(b\)-adiques propres, c’est-à-dire les suites de cette forme.

Représentation géométrique de l’intervalle réel \([0,1[=\{x\in\mathbb R : 0\leq x <1\}\) : le point \(0\) fait partie de l’intervalle, le point \(1\) en est exclu. Pour toute base de numération entière \(b\geq 2\), l’intervalle \([0,1[\) est en bijection avec les développements \(b\)-adiques propres, c’est-à-dire certaines suites d’entiers naturels tous \(<b\).

L’argument diagonal

Le reste de la démonstration est alors assez simple, et repose sur ce qu’on appelle un argument diagonal. Supposons par l’absurde que l’ensemble \([0,1[\) est dénombrable, c’est-à-dire possède autant d’éléments que l’ensemble \(\mathbb N\) (nous voulons démontrer le contraire !). L’ensemble \(E\) est donc lui-même dénombrable, si bien qu’on peut en énumérer les éléments (qui sont des suites) comme une suite. Autrement dit, chaque élément de \(E\) est de la forme \(a_{n,1},a_{n,2},\ldots,a_{n,i},\ldots\), où l’on a ajouté un deuxième indice (ici \(n\)) qui permet d’indexer la suite comme élément de \(E\). Un nombre entier \(b\geq 3\) étant fixé, nous allons alors « construire » (c’est-à-dire définir) une nouvelle suite qui ne peut pas appartenir à cette liste et qui pourtant est par définition dans l’ensemble \(E\). Cette nouvelle suite, notons-là \(b_1,b_2,\ldots,b_i,\ldots\), est définie de la manière suivante : pour \(b_1\) on choisit le premier terme de la première suite, c’est-à-dire \(a_{1,1}\), et on pose \(b_1=1\) si \(a_{1,1}=0\), \(b_1=0\) si \(a_{1,1}\neq 0\). De la même manière, en général pour choisir le coefficient \(b_i\) nous choisissons le \(i\)-ème coefficient de la \(i\)-ème suite, c’est-à-dire \(a_{i,i}\) (le coefficient « diagonal », comme dans une matrice), et nous posons \(b_i=1\) si \(a_{i,i}=0\), \(b_i=0\) sinon.

Comme nous avons choisi \(b\geq 3\), la suite \(b_1,\ldots,b_i,\ldots,\) ainsi définie est le développement propre d’un nombre réel \(x\in [0,1[\), c’est donc un élément de \(E\). Or, il est facile de voir que cette suite ne fait pas partie de la liste que nous avons utilisée pour énumérer \(E\) ! En effet, par construction le terme \(b_i\) d’indice \(i\) est au moins différent du \(i\)-ème terme de la suite d’indice \(i\), si bien que la suite des \(b_i\) possède toujours un terme différent d’au moins l’une des suites de la liste. Ceci contredit la définition de cette liste, si bien que par reductio ad absurdum, l’ensemble \([0,1[\) ne peut pas être dénombrable. Il contient donc strictement plus d’éléments que \(\mathbb N\), donc l’ensemble \(\mathbb R\) possède strictement plus d’éléments que l’ensemble \(\mathbb Q\).

Le cas \(b=2\) et l’hypothèse du continu

Calculer le cardinal de \(\mathbb R\) avec les développements binaires

L’exclusion du cas \(b=2\) dans l’argument précédent provient de ce que la construction de la suite \((b_i)\) n’est plus possible : le procédé ne permet pas d’assurer qu’on obtient un développement propre, puisque rien n’empêche que dans l’énumération de \(E\) choisie, on ait \(a_{i,i}=0\) partir d’un certain rang \(i>N\), ce qui entraînerait bien sûr \(b_i=1\) pour \(i>N\). Cependant, ce cas aussi permet d’établir que le cardinal de \(\mathbb R\) est strictement supérieur à celui de \(\mathbb N\), et même de calculer le cardinal de \(\mathbb R\), grâce à un autre type d’argument. On peut en effet facilement démontrer qu’il existe une bijection entre \(P(\mathbb N)\), ensemble des parties de \(\mathbb N\), et l’ensemble \(S\) des suites de nombres entiers naturels valant \(0\) ou \(1\) : comme on peut le faire pour tout ensemble, il suffit d’identifier toute partie \(X\) de \(\mathbb N\) à une « fonction caractéristique » \(\chi:\mathbb N\to \{0,1\}\) (\(\chi\) = « chi » est une lettre de l’alphabet grec), qui par exemple vaut \(\chi(n)=0\) si \(n\in X\), et \(\chi(n)=1\) si \(n\notin X\). Dans cette bijection, les développements binaires (c’est-à-dire \(2\)-adiques) impropres sont déterminés par un nombre fini de termes, et sont donc en bijection avec l’ensemble des parties finies de \(\mathbb N\), lequel est de même cardinal que \(\mathbb N\). Par les propriétés élémentaires des ensembles infinis, l’ensemble \(E\) des développements binaires propres possède alors le même cardinal que \(P(\mathbb N)\), et par bijection de \(E\) sur \([0,1[\), le cardinal de \([0,1[\), et donc de \(\mathbb R\), est celui de \(P(\mathbb N)\) !

La question de l’hypothèse du continu

Le cardinal ou nombre d’éléments de \(\mathbb N\) est par définition appelé \(\aleph_0\) (\(\aleph\) = « aleph » est la première lettre de l’alphabet hébraïque), premier cardinal infini. Par le théorème de Cantor, le cardinal de l’ensemble \(P(\mathbb N)\), et donc de l’ensemble \(\mathbb R\), est alors strictement supérieur à \(\aleph_0\), et on note \(2^{\aleph_0}\) ce cardinal dans l’arithmétique des nombres cardinaux infinis ou « arithmétique transfinie ». Or, le plus petit cardinal infini strictement supérieur à \(\aleph_0\) est par définition le nombre infini \(\aleph_1\) : une question naturelle qui s’est posée en théorie des ensembles est celle de l’hypothèse du continu, c’est-à-dire de savoir si \(2^{\aleph_0}=\aleph_1\), ou bien si \(2^{\aleph_0}>\aleph_1\), autrement dit, si il existe un « infini » strictement compris entre l’infini des entiers naturels et l’infini des nombres réels. Le mathématicien Paul Cohen a en fait révolutionné la logique mathématique en démontrant en 1963 que cette question est indécidable dans la théorie axiomatique des ensembles habituelle appelée ZFC, autrement dit que l’énoncé : « il existe un cardinal strictement compris entre \(\aleph_0\) et \(2^{\aleph_0}\) » est indépendant de cette théorie; mais c’est une autre histoire.

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