La science mathématique ne cherche pas à définir la notion de nombre entier naturel, mais à comprendre l’ensemble des entiers naturels

« Dieu a fait le nombre entier, le reste est l’oeuvre des hommes. » Leopold Kronecker

1. On ne définit pas les nombres entiers naturels ! Mais on peut les représenter

1.1. Les entiers naturels comme concepts primitifs

Comme pour les ensembles (Qu’est-ce qu’un ensemble ?), il n’existe pas de définition mathématique d’un (nombre) entier naturel. Intuitivement, les nombres entiers naturels sont des concepts par lesquels nous dénombrons les quantités finies : \(0,1,2,3,\ldots\). Il existe des définitions philosophiques intéressantes : par exemple, en suivant et en paraphrasant Edmund Husserl on peut dire que le nombre entier naturel est la « forme pure de la multiplicité finie ». Cependant, rien ne peut remplacer l’intuition : comme pour le temps ou les ensembles, il n’est pas nécessaire de définir un entier naturel pour savoir ce que c’est ! Il s’agit d’un concept primitif en mathématiques, et sans lequel il n’est pas possible de bâtir ne serait-ce que la théorie naïve des ensembles (Ibid.).

1.2. Représentation des entiers naturels

Cependant, contrairement à ce qui se passe pour les ensembles, on peut représenter les entiers naturels. En effet, lorsqu’on compte un ensemble fini d’objets, on peut considérer le nombre d’éléments de cet ensemble soit comme une quantité abstraite (on parle alors de nombre cardinal), soit comme le résultat d’une énumération (on parle alors de nombre ordinal). Ces deux notions existent en général dans la théorie des ensembles (naïve ou axiomatique), et on peut alors, en disposant de la notion d’ensemble fini (qui doit être définie rigoureusement elle aussi ! voir Le fini et l’infini mathématiques),  représenter les entiers naturels comme les ordinaux finis (qui sont aussi les cardinaux finis).

2. La mathématique cherche plutôt à comprendre l’ensemble des nombres entiers naturels, grâce à un système d’axiomes

2.1. La science de l’ensemble des entiers naturels

Plutôt que de chercher à définir les entiers naturels, la science mathématique s’intéresse à les comprendre dans leur totalité, c’est-à-dire comme un ensemble. Le philosophe grec Aristote disait : « il n’y a de science que du général »; autrement dit, la démarche scientifique cherche des connaissances concernant des classes d’objets similaires, et pas des objets individuels (à moins qu’on considère une classe comme un objet !) : il y a une science de tel type d’arbre, mais pas de tel arbre en particulier. Grâce à la théorie des ensembles, on peut étudier de manière scientifique l’ensemble des nombres entiers naturels, qu’on note \(\mathbb N\).

2.2. Les axiomes de Peano

En utilisant des axiomes, c’est-à-dire des énoncés admis comme vrais mais indémontrables les uns à partir des autres, dits de Peano (du nom du mathématicien et linguiste italien Giuseppe Peano), on donne un jeu de propriétés qui détermine l’ensemble \(\mathbb N\) de manière unique. Autrement dit, deux ensembles avec ces mêmes propriétés, même s’ils sont différents, sont indiscernables sur le plan mathématique : on dit qu’ils sont isomorphes. Ces axiomes sont des propriétés élémentaires de l’opération qui consiste à ajouter 1 à tout entier naturel, et est appelée « l’application successeur ». On peut formuler comme suit les axiomes de Peano :

1. Le nombre entier naturel \(0\) n’est le successeur d’aucun nombre
2. Si deux entiers naturels \(m\) et \(n\) ont le même successeur, alors \(m=n\)
3. Si S est un sous-ensemble de \(\mathbb N\) tel que \(0\in S\) et tel que \(n+1\in S\) dès que \(n\in S\), alors \(S\) est l’ensemble \(\mathbb N\) tout entier (principe de récurrence).

Pour aller plus loin

La théorie des ensembles, combinée aux axiomes de Peano, permet une reconstruction étonnante de toute la mathématique, établissant sa structure en tant que science rigoureuse. Cette démarche débute par une définition précise des opérations et relations arithmétiques fondamentales. Pour explorer cette approche scientifique de la théorie des nombres, plongez-vous dans notre e-book [Mathesis I.3 : Arithmétique Elémentaire]. Ou pour une expérience interactive avec un accès aux pré-requis essentiels, découvrez ce cours dans notre encyclopédie MATHESIS::Essentiel, en commençant par l’article détaillé [Axiomes et structure de l’ensemble $\mathbb N].

3. Reconstituer la « structure » des entiers naturels grâce aux axiomes de Peano

3.1. Représentation ordinale des entiers

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