Principes et propriétés des fonctions holomorphes d’une variable complexe

Les principes fondamentaux des fonctions holomorphes d’une variable complexe exploitent la dérivabilité et les caractéristiques uniques qui définissent ces fonctions dans le plan complexe. Nous abordons la définition des sous-ensembles ouverts de $\mathbb{C},$ les critères de dérivabilité complexe et les conditions de Cauchy-Riemann, cruciales pour comprendre comment ces fonctions différentiables s’inscrivent dans la structure multiplicative naturelle du corps des nombres complexe. Les fonctions analytiques sont des exemples de fonctions holomorphes, et parmi les propriétés fondamentales de celles-ci on distingue la conformité (préservation des angles orientés) et l’harmonicité de leurs partie réelle et imaginaire.

1.Dérivation d’une fonction complexe

1.1.Ouverts du plan complexe

Rappelons qu’un sous-ensemble $B$ du plan complexe $\mathbb C=\mathbb R^2$ est une boule ouverte centrée en $z_0\in \mathbb C$ et de rayon $r\in \mathbb R_+^*$, si il est de la forme $B=B_r(z_0)=\{w\in \mathbb C : |z-w|<r\}$, ensemble des points $z$ situés à une distance de $z_0$ strictement inférieure à $r$. Les boules ouvertes jouent dans le plan un rôle topologique analogue à celui des intervalles ouverts de la droite réelle. Rappelons alors la définition suivante :

Définition 1
Un sous-ensemble $U$ du plan complexe $\mathbb C=\mathbb R^2$ est dit ouvert si pour tout $z\in U,$ il existe une boule ouverte $B=B_r(z_0)$ telle que $z\in B$ et $B\subset U$.

Ainsi, un sous-ensemble $U$ du plan est ouvert précisément lorsqu’on peut entourer chacun de ses points par une boule ouverte à l’intérieur de $U$. Ces sous-ensembles ouverts définissent ainsi une topologie, c’est-à-dire une structure locale ou une échelle de proximité, ce qui permet de discuter les questions de limite, de continuité, et même de dérivation, étant entendu que l’ensemble $\mathbb C$, identifié ici au plan euclidien $\mathbb R^2$, est complet (au sens où toute suite de Cauchy de nombres complexes converge dans $\mathbb C$, voir Qu’est-ce qu’un nombre réel ?). Cela signifie que tous les processus obtenus par des suites ou des séries potentiellement convergentes, convergent effectivement.

1.2.Dérivabilité d’une fonction complexe en un point

Par analogie avec la dérivabilité d’une fonction d’une variable réelle (voir Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ?), on peut alors définir la dérivabilité d’une fonction d’une variable complexe $f:U\to\mathbb C$ définie sur un ouvert $U$ du plan.

Définition 2
Une fonction $f:U\to \mathbb C$ est dite dérivable en un point $z_0\in U$, si le rapport $\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ possède une limite lorsque $z$ tend vers $z_0$. Cette limite, notée $f'(z_0)$, est la dérivée de $f$ en $z_0.$

Exemple 1
i) Pour tout polynôme $P=\sum_{k=0}^n a_k X^k\in \mathbb C[X],$ la fonction polynomiale $P:z\in\mathbb C\mapsto P(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k$ est dérivable en tout $z_0\in \mathbb C$, et sa dérivée en $z_0$ est $P'(z_0),$ où $P’=\sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1}$ est la dérivée formelle de $P.$
ii) Pour toute fraction rationnelle $F\in \mathbb C(X)$ avec $F=P/Q$ sous forme irréductible, la fonction rationnelle $z\in U\mapsto F(z)=P(z)/Q(z),$ avec $U=\{z\in\mathbb C : Q(z)\neq 0\},$ est dérivable en tout point $z_0\in U$ et on a $F'(z_0)=[P'(z_0)Q(z_0)-P(z_0)Q'(z_0)]/Q(z_0)^2,$ où $P’,Q’\in \mathbb C[X]$ sont les dérivées formelles de $P,Q.$
iii) La fonction exponentielle complexe est définie par $\exp:z\in \mathbb C\mapsto \sum_{n=0}^\infty z^n/n!$ par prolongement de l’exponentielle réelle. On démontre que $\exp z$ est dérivable en tout point $z_0\in\mathbb C,$ et égale à sa propre dérivée.
iv) De même, la fonction logarithme néperien $\ln:\mathbb R_+^+\to \mathbb R$ est définie pour tout $x\in \mathbb R_+^*$ par $\ln x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(x-1)^{n+1}}{n+1},$ et se prolonge à une fonction complexe $\ln:z\in \mathbb C-\mathbb R_-\mapsto \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-1)^{n+1}}{n+1},$ dérivable en tout point $z_0\in \mathbb C-\mathbb R_-,$ avec $\ln’ z_0=1/z_0.$

Ici, la notion de dérivabilité introduite considère la fonction $f$ comme n’ayant qu’une variable : elle ne doit donc pas être confondue avec la notion de différentiabilité de $f$ considérée comme fonction de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R^2$. Ceci étant dit, les deux notions sont étroitement liées de la manière suivante :

Proposition 1
Une fonction $f:U\to\mathbb C$ est dérivable en un point $z_0\in U$ si et seulement si $f$ est différentiable en $z_0$ et sa différentielle $d_{z_0}f$ est une application $\mathbb C$-linéaire.

Ici, la différentielle $d_{z_0}f$ est par définition l’application $\mathbb R$-linéaire $$L:(x,y)\in \mathbb R^2\mapsto (\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0).x+\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0).y,\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0).x+\frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0).y),$$ où $z_0=(x_0,y_0)$ et $P,Q$ sont les applications coordonnées de $f$, c’est-à-dire définies par $f(z)=(P(z),Q(z))$ pour tout $z\in U$, ou avec les notations complexes, $P=Re(f)$ et $Q=Im(f)$, respectivement les parties réelle et imaginaire de $f$. Or, toutes les applications $\mathbb R$-linéaires de $\mathbb R^2$ dans lui-même ne sont pas $\mathbb C$-linéaires :

Exemple 2
La conjugaison complexe $z=x+iy\in\mathbb C\mapsto \overline z:=x-iy$ est $\mathbb R$-linéaire, puisque si $w=a+ib$ et $\lambda\in \mathbb R$, on a $\overline{z+\lambda.w}=(x+\lambda.a)-i(y+\lambda.b)=(x-iy)+\lambda.(a-ib)=\overline z+\lambda.\overline w.$ En revanche, pour $\lambda=i,$ on a $\overline{z+\lambda.w}=\overline{x-b+i(y+a)}=(x-b)-i(y+a),$ tandis que $\overline{z}+\lambda.\overline w=(x-iy)+i.(a-ib)=(x+b)-i.(y-a),$ différent de $\overline{z+\lambda.w}$ dès que $a\neq 0$ ou $b\neq 0.$ La conjugaison complexe n’est donc pas $\mathbb C$-linéaire.

La dérivabilité complexe est donc essentiellement une différentiabilité réelle qui « respecte la structure complexe ».

1.3.Conditions de Cauchy

En décomposant alors en général toute fonction complexe $f:U\to \mathbb C$ sous la forme $f(z)=P(z)+iQ(z)$ comme précédemment avec $P$ et $Q$ deux fonctions numériques, on peut donner le critère suivant de dérivabilité complexe, connu sous le nom de « conditions de Cauchy » :

Théorème 1
Si $f:z\in U\mapsto f(z)=P(z)+iQ(z)$ est une fonction complexe définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb C$ et $z_0=(x_0,y_0)=x_0+iy_0\in U$, alors $f$ est dérivable en $z_0$ si et seulement si les fonctions numériques $P$ et $Q$ sont différentiables sur $U$ et leurs dérivées partielles vérifient les conditions suivantes :
i) $\dfrac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0)$
ii) $\dfrac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)=-\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0).$

Dans ce cas, on a alors $f'(z_0)=P’_x(x_0,y_0)+iQ’_x(x_0,y_0)=P’_x(x_0,y_0)-iP’_y(x_0,y_0)=Q’_y(x_0,y_0)+iQ’_x(x_0,y_0)$, en notant $P’_x=\dfrac{\partial P}{\partial x},P’_y=\dfrac{\partial P}{\partial y}$, $Q’_x=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ et $Q’_y=\dfrac{\partial Q}{\partial y}.$ Ainsi, la « rigidité » de la dérivation complexe fait que la connaissance d’une seule des fonctions réelles $P$ ou $Q$ suffit à dériver $f$ comme fonction complexe.

2.Notion de fonction holomorphe

2.1.Fonctions holomorphes

L’analogue des fonctions dérivables d’une variable réelle, qui sont celles qu’on peut dériver en chaque point de leur intervalle de définition, est la notion de fonction holomorphe, fonction complexe qu’on peut dériver en chaque point de son domaine :

Définition 3
On dit qu’une fonction $f:U\to \mathbb C$, définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb C$, est holomorphe, si elle est dérivable en tout point $z_0$ de $U$. Dans ce cas, la dérivée de $f$ est la fonction $f’:z_0\in U\mapsto f'(z_0)$ telle que définie précédemment.

L’exemple générique de fonction holomorphe est celui d’une fonction analytique complexe $f:U\to\mathbb C$ définie sur un ouvert $U$. Rappelons qu’une telle fonction possède par définition la propriété suivante : pour tout $z_0\in U$, il existe une suite $(a_n)$ de nombres complexes, et une boule ouverte $B=B_r(z_0)$ centrée en $z_0$ et incluse dans $U$, et tels que pour tout $z\in B$, la série complexe $\sum a_n (z-z_0)^n$ converge et sa somme vérifie $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n$. On dit que $f$ est « développable en série entière » autour de chacun de ses points. On démontre qu’une fonction analytique est holomorphe, et que pour toute représentation de $f$ sur une boule ouverte $B=B_r(z_0)$ sous la forme $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n,$ la « série dérivée » $\sum (n+1)a_{n+1} (z-z_0)^{n+1}$ converge et définit la dérivée de $f$, c’est-à-dire qu’on a $f'(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (z-z_0)^{n+1}$ pour tout $z\in B$.

Exemple 3
i) Pour tout polynôme $P\in\mathbb C[X],$, la fonction polynomiale $P:z\in \mathbb C\mapsto P(z)$ est holomorphe.
ii) Pour toute fraction rationnelle $F\in \mathbb C(X)$ avec $F=P/Q$ sous forme irréductible, la fonction rationnelle $F$ est holomorphe sur l’ensemble $U$ des nombres complexes $z$ tels que $Q(z)\neq 0.$
iii) La fonction exponentielle complexe (voir l’exemple 1) est analytique, puisqu’elle est définie par $\exp z= \sum_{n=0}^\infty z^n/n!$ pour tout $z\in\mathbb C.$
iv) De même, la fonction logarithme néperien $\ln:\mathbb R_+^+\to \mathbb R$ est analytique, puisque pour tout $x\in \mathbb R_+^*$ on a $\ln x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}$. Elle se prolonge à une fonction analytique complexe $\ln:z\in \mathbb C-\mathbb R_-\mapsto \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z-1)^{n+1}}{n+1},$ qui est donc holomorphe, et en utilisant la série dérivée on trouve encore $\ln’ z=1/z$ pour tout $z\in \mathbb C-\mathbb R_-$. On a en fait $\ln z=\ln r+i\theta,$ si $z=re^{i\theta}.$
v) Les fonctions cosinus et sinus réelles se prolongent à des fonctions analytiques complexes, et donc holomorphes, définies par exemple par $\cos z=\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}$ et $\sin z=\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}.$
vi) Si $f,g:U\to\mathbb C$ sont deux fonctions holomorphes, alors les fonctions $f+g,f\times g:U\to\mathbb C$ sont holomorphes, ainsi que la fonction $f/g:U\to\mathbb C$ si $g(z)\neq 0$ pour tout $z\in U.$

3.2.Caractérisation par les similitudes

Rappelons qu’une similitude (vectorielle) du plan $\mathbb R^2$ est une application linéaire $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ obtenue par composition d’une isométrie vectorielle par une homothétie. Autrement dit, $f$ est une similitude si et seulement si il existe une isométrie $s\in O(2)$ et un nombre réel non $\lambda\in\mathbb R^*$ tels que pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2,$ on a $f(x,y)=\lambda.(x,y)$. La notion de similitude traduit l’idée d’une transformation linéaire qui « préserve la forme » des objets géométriques, qui sont alors essentiellement « semblables ». On peut toujours choisir $\lambda >0,$ et la similitude préserve alors, à une constante positive près, tous les rapports de distances, et en fait le produit scalaire, par définition des isométries :

Proposition 2
L’application $f$ est une similitude si et seulement si il existe $\lambda\in\mathbb R_+^*$ tel que pour tous vecteurs $u,v\in\mathbb R^2,$ on a $f(u)\cdot f(v)=\lambda.(u\cdot v).$

Si $f=\lambda.s,$ on dit que $f$ est directe si son déterminant (qui vaut $\lambda^2.\det s$) est strictement positif, autrement dit si l’isométrie $s$ est directe. En fait, pour tout couple de vecteurs non nuls $u,v$ du plan euclidien, une similitude directe $f$ préserve l’angle orienté entre $u$ et $v$, puisqu’elle est composée d’une rotation et d’une homothétie de rapport positif, et que l’angle entre $u$ et $v$ ne dépend pas de leur norme. Or, par caractérisation matricielle de la multiplication complexe, on s’aperçoit que les multiplications des nombres complexes par un nombre complexe $a$ donné sont exactement les similitudes vectorielles directes du plan. On en déduit la caractérisation suivante des fonctions holomorphes, qui découle directement des conditions de Cauchy (Théorème 1) :

Corollaire 1
Si $f:U\to \mathbb C$ est définie sur un ouvert du plan, alors $f$ est holomorphe sur $U$ si et seulement si elle est différentiable et pour tout point $z_0\in U$, la différentielle de $f$ en $z_0$, soit l’application linéaire $D_{z_0}f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$, est nulle ou est une similitude directe.

Le graphe d’une fonction holomorphe $f$ est en général un sous-ensemble de $\mathbb C\times\mathbb C\cong \mathbb R^4,$ donc pour le représenter ou utilise parfois le « paysage analytique » de la fonction, c’est-à-dire le graphe de $z\mapsto |f(z)|$; on a représenté ici le paysage analytique de la fonction holomorphe $f:z\in \mathbb C-\mathbb R_-\mapsto \ln z=\ln r+i\theta,$ pour $z=re^{i\theta}$ (figure réalisée avec Maple)

3.Conformité et harmonicité

3.1.Arcs et représentations conformes

Soient $g_1,g_2:I\to \mathbb C$ deux arcs différentiables réguliers (leur dérivées ne s’annulent pas) à valeurs dans un ouvert $U$ du plan complexe, et s’intersectant en $z_0$ (il existe $t_0\in I$ tel que $g_1(t)=z_0=g_2(t)$). L’angle (orienté) $\alpha$ entre les tangentes (orientées) à $g_1, g_2$ au point $t_0$ est par définition l’angle entre les vecteurs $g’_1(t_0)$ et $g’_2(t_0)$. Or, si $f:U\to\mathbb C$ est une fonction holomorphe, alors en composant $g_1,g_2$ par $f$ on obtient deux arcs différentiables $h_1:=f\circ g_1,h_2:=f\circ g_2:I\to\mathbb C,$ de sorte que $f$ transforme les deux arcs $g_1$ et $g_2$ en les deux arcs $h_1$ et $h_2$. La différentielle de $f$ en $z_0$, soit l’application linéaire $D_{z_0}f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2,$ transforme alors les vecteurs tangents $g’_1(t_0),g’_2(t_0)$ respectivement à $g_1$ et $g_2$ en $t_0$ en les vecteurs $D_{z_0}f(g’_1(t_0))=f'(z_0).g’_1(t_0)=h’_1(t_0)$ et $D_{z_0}f(g’_2(t_0))=f'(z_0).g’_2(t_0)=h’_2(t_0),$ c’est-à-dire les vecteurs tangents respectifs à $h_1$ et $h_2$ en $t_0.$ Si $f'(z_0)\neq 0,$ comme $f'(z_0)$ est une similitude directe par le corollaire 2, on en déduit que $\beta=\alpha$ : les deux angles orientés $[g’_1(t_0),g’_2(t_0)]$ et $[h’_1(t_0),h’_2(t_0)]$ sont égaux. Ainsi, une application holomorphe est « conforme » en tout point où sa dérivée ne s’annule pas, au sens suivant :

Proposition 3
Une application holomorphe $f:U\to\mathbb C$ dont la dérivée ne s’annule pas est conforme : elle conserve l’angle orienté de deux arcs quelconques.

3.3.Fonctions holomorphes et fonctions harmoniques

Les parties réelle $P$ et imaginaire $Q$ d’une fonction holomorphe $f:U\to\mathbb C,$ définie sur un ouvert du plan, sont liées à travers leurs dérivées partielles premières par les conditions de Cauchy (théorème 1). Si nous admettons que la fonction $f$ est de classe $C^2$ (les dérivées partielles de $f$ existent à l’ordre $2$ et sont continues), alors les fonctions $P$ et $Q$ vérifient les relations suivantes de commutativité des dérivées partielles (théorème de Schwarz) : $P^{(2)}_{xy}=P^{(2)}_{yx}$ et $Q^{(2)}_{xy}=Q^{(2)}_{yx},$ en posant $P^{(2)}_{xy}=\dfrac{\partial^2 P}{\partial x\partial y}$ et de même pour les autres abréviations.

Or, par les conditions de Cauchy on a les égalités $P’_x=Q’_y$ et $P’_y=-Q’_x,$ de sorte qu’en dérivant une seconde fois chaque membre par rapport aux variables $x,y$ on obtient : $P^{(2)}_{x^2}=Q^{(2)}_{yx},$ $P^{(2)}_{xy}=Q^{(2)}_{y^2},$ $P^{(2)}_{y^2}=-Q^{(2)}_{xy}$ et $P^{(2)}_{yx}=-Q^{(2)}_{x^2}.$ En utilisant les relations précédentes de commutativité, on obtient les relations suivantes entre les dérivées partielles secondes « diagonales » de $P$ et $Q$ :

Proposition 4
Les fonctions $P:U\to\mathbb R$ et $Q:U\to\mathbb R$ sont harmoniques, c’est-à-dire qu’elles sont de classe $C^2$ et qu’on a $P^{(2)}_{x^2}+P^{(2)}_{y^2}=0$ et $Q^{(2)}_{x^2}+Q^{(2)}_{y^2}=0.$

En fait, si $P:U\to\mathbb R$ est une fonction harmonique définie sur un ouvert du plan $U$, à partir de la théorie des formes différentielles on peut démontrer qu’il existe autour de chaque point $z_0$ de $U$ une fonction $Q$ telle que $P$ et $Q$ vérifient les conditions de Cauchy et que la fonction $f=P+iQ$ soit holomorphe et de classe $C^2.$

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