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M A T H E S I S

Des nombres entiers naturels 

aux nombres rationnels

Je m’appelle Jean Barbet, je suis diplômé de sciences expérimentales (Maîtrise de Biologie et 3ème cycle de Sciences de l’environnement) et Docteur en Mathématiques pures (Université Lyon 1, 2010). Je suis mathématicien indépendant et j’ai enseigné les mathématiques pendant plus de dix ans.

Après une expérience techno-scientifique de la recherche en écophysiologie, je me suis reconverti en mathématiques. Inscrit en 3ème année de Licence, j'ai expérimenté les limites matérielles de l’enseignement universitaire (restriction du volume des contenus, concentration sur l’algèbre et l'analyse, approches multiples...). J'ai comblé mes lacunes et complété mon apprentissage en entreprenant une intégration des connaissances mathématiques. En ajoutant des éléments substantiels mais fondamentaux (notamment en théorie des nombres, géométrie et logique mathématique), j'ai élaboré un "système de mathématiques supérieures", baptisé Mathesis.

Je souhaite transmettre ce système comme un corpus écrit et un cursus en ligne pour rendre accessible à tous le "noyau" des mathématiques "essentielles". Le corpus est conçu comme une somme complète et auto-suffisante, correspondant à une Licence de mathématiques (Bac +3) du meilleur niveau, augmentée de compléments substantiels. L'objectif de Mathesis est de permettre à quiconque d'apprendre l'essentiel de la mathématique supérieure par soi-même.

Vous trouverez plus d'informations sur le corpus et une description détaillé de l'approche et du programme sur Mathesis : intégrer la connaissance mathématique et l'ensemble des publications associées sur e-Books - la Règle et le Compas.

Des nombres entiers naturels aux nombres rationnels

M A T H E S I S - l'Univers Mathématique - 1ère année, Semestre I, cours n°3

Ce troisième cours ou volume du semestre I de la première année de Mathesis - l'Univers Mathématique, est entièrement réalisé par mes soins. Il est conçu pour vous aider à entrer de manière scientifique dans l'apprentissage de l'arithmétique ou théorie des nombres, grâce aux notions élémentaires de la théorie naïve des ensembles.  

Nous commençons par une description complète de l'ensemble N des nombres entiers naturels, à partir des trois axiomes de Peano, qui permettent de fonder l'arithmétique de manière rigoureuse et scientifique, à partir de la théorie des ensembles et des fonctions. Ceci est possible grâce à la fonction successeur, évoquée au cours précédent, et à partir de laquelle nous définissons toute la "structure arithmétique naturelle", à savoir l'addition, la multiplication, l'ordre naturel et la divisibilité. Il est déjà possible d'aborder l'infinité des nombres premiers, l'algorithme d'Euclide sur le plus grand commun diviseur et les bases de numération.

L'arithmétique s'enrichit substantiellement lorsqu'on ajoute la soustraction : celle-ci n'existe que dans l'ensemble Z des nombres entiers relatifs, que nous décrivons à nouveau de manière axiomatique, à partir de deux principes très simples liés à l'addition et qui permettent là aussi d'en reconstituer toute la structure naturelle. Ceci permet d'approfondir considérablement la théorie des nombres premiers entre eux avec le théorème de Bézout, et d'en déduire la décomposition des nombres entiers naturels en nombres premiers, qui est le "théorème fondamental de l'arithmétique" de Gauss. Les nombres primaires proviennent de cette décomposition et sont liés à l'étude du plus petit commun multiple ; on introduit aussi les relations de congruence, à la base de l'arithmétique modulaire, préparant la théorie des anneaux du semestre II.

Une introduction sérieuse à la théorie des nombres ne pourrait pas se passer d'une étude de l'ensemble Q des nombres rationnels, que nous abordons encore à partir de deux axiomes très simples, liés cette fois-ci à la multiplication. L'inversion multiplicative de tous les nombres rationnels non nuls transforme la théorie des nombres de deux manières. D'une part, il n'est plus possible d'aborder l'arithmétique sous l'angle de la divisibilité, mais nous introduisons les valuations p-adiques, qui permettent d'étendre aux nombres rationnels la décomposition des nombres entiers en nombres premiers, grâce à l'introduction des puissances négatives. D'autre part, la théorie des nombres premiers entre eux trouve un analogue géométrique dans la théorie des grandeurs commensurables, qui la prolonge. Cette théorie arithmético-géométrique prépare ainsi la deuxième partie du semestre et le cours suivant sur les nombres réels et la géométrie euclidienne.

Il est certain que la simple lecture de ce fascicule ne vous transformera pas du jour au lendemain en expert de la théorie des nombres. Il vous faudra suivre les conseils de travail que je vous donne au début du cours, et surtout travailler avec régularité et persévérance, sans jamais vous décourager. Je vous en dis plus dans le livre, mais vous devrez analyser des démonstrations et faire des exercices.

Ce que vous allez apprendre et comprendre dans ce troisième cours est une voie sûre et accessible vers la connaissance scientifique des trois systèmes de nombres élémentaires N, Z et Q. Les contenus du premier cours et du second cours sont considérés comme des prérequis, notamment ce qui concerne la théorie naïve des ensembles, la logique élémentaire et les notions de fini et d'infini. La mathématique est avant tout une science, vous y trouverez donc de la théorie ; mais on comprend en faisant, et vous aurez souvent à résoudre des exercices et des problèmes pour mettre en œuvre le cours, ce que je vous proposerai dans la plupart des leçons. Vous devez être conscient de l'effort qu'il faut fournir, et qu'il ne suffira pas de lire ce livre comme un roman pour devenir arithméticien. Vous êtes responsable de votre succès, mais j'ai tout fait pour vous guider pas-à-pas, sans échec, comme je l'ai déjà fait pour de nombreux élèves et étudiants.

Le cours vous donne accès à ce qui suit :

19 leçons de niveau supérieur, intégrant la théorie et la pratique, pour une acquisition scientifique de la  théorie des nombres

Jean Barbet   -   La Règle et le Compas

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