Propriétés élémentaires des ensembles R, N, Z et Q [C1.I.4]

1. Structure naturelle de l’ensemble $\mathbb R$

La « structure de base » de l’ensemble $\mathbb R$, appelé aussi droite réelle (expression qui met l’accent sur le caractère à la fois arithmétique et géométrique de $\mathbb R$), consiste en les opérations habituelles d’addition (notée $+$) et de multiplication (notée $\times$), ainsi qu’en l’ordre linéaire (ou strict), noté $<$. Rappelons que l’ordre large, noté $\leq$, est défini ou caractérisé pour des nombres réels $x,y$ par $x\leq y$ si et seulement si $x<y$ ou $x=y$.

Nous listons ici les propriétés élémentaires de ces opérations et relations, que nous avons déjà demandé à l’étudiant(e) ou la lectrice de mobiliser dans les nombreux exemples et exercices de la section précédente.

Même si à ce niveau de compréhension, ces propriétés sont intuitives, nous pouvons les formuler de manière rigoureuse grâce à l’expression mathématique spécifique.

1.1. Les relations $<$ et $\leq$

Nous commençons par les propriétés des deux relations d’ordre $<$ et $\leq$.

Propriété 1
Si $x,y,z$ sont des nombres réels :
i) on a $x\leq x$
ii) si $x<y$ et $y<z$, alors $x<z$
iii) si $x\leq y$ et $y\leq z$, alors $x\leq z$
iv) si $x\leq y$ et $y\leq x$, alors $x=y$
v) on ne peut avoir à la fois $x<y$ et $y<x$
vi) on a $x<y$ si et seulement si $x\leq y$ et $x\neq y$
vii) on a $x\leq y$ si et seulement si $x<y$ ou $x=y$
viii) on a toujours soit $x<y$, soit $x=y$, soit $y<x$.

Toutes ces propriétés sont encore valides pour n’importe quel sous-ensemble de $\mathbb R$, donc en particulier pour les sous-ensembles $\mathbb N$, $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$ de $\mathbb R$, autrement dit si nous choisissons $x,y,z$ comme entiers naturels, entiers relatifs ou nombres rationnels, elles sont encore vraies.

Cependant, il faut faire attention à ce que toutes les propriétés mathématiques d’un ensemble donné ne sont pas toujours préservées dans un sous-ensemble : nous en verrons bientôt des exemples.

Pour l’étudiant(e) ou le lecteur curieux, il faut savoir que la préservation d’une propriété à un sous-ensemble dépend de la manière dont on peut écrire cette propriété; nous n’aborderons pas ceci en détail à cet endroit du cours

1.2. L’addition des nombres réels

En ce qui concerne l’addition et son rapport aux relations précédentes, on a les propriétés suivantes, parmi lesquelles on trouvera aussi le rapport des inégalités aux changements de signes.

Propriété 2
Si $x,y,z$ sont des nombres réels :
i) on a $x+0=0+x=x$
ii) on a $(x+y)+z=x+(y+z)$ (on dit que l’addition est associative)
iii) on a $x+y=y+x$ (on dit que l’addition est commutative)
iv) si $x<y$, alors $x+z<y+z$
v) si $x\leq y$, alors $x+z\leq y+z$
vi) si $x<y$, alors $-x>-y$
vii) si $x\leq y$, alors $-x\geq -y$.

Comme pour les propriétés de $<$ et $\leq$, ces propriétés de l’addition sont encore valables dans les ensembles $\mathbb N$, $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$.

1.3. La multiplication des nombres réels

En ce qui concerne la multiplication et son rapport à l’addition et aux relations d’ordre, on a les propriétés suivantes; on rappelle qu’on note $x.y$ et même souvent $xy$ le produit $x\times y$ de deux nombres réels $x$ et $y$.

Propriété 3
Si $x,y,z$ sont des nombres réels :
i) on a $x.1=x$ et $x.0=0$
ii) on a $(x.y).z=x.(y.z)$ (la multiplication est associative)
iii) on $x.y=y.x$ (la multiplication est commutative)
iv) $z.(x+y)=z.x+z.y$ (on dit que la multiplication est distributive sur l’addition)
v) si $z>0$ et $x<y$, alors $z.x<z.y$
vi) si $z\geq 0$ et $x\leq y$, alors $z.x\leq z.y$
vii) si $z<0$ et $x<y$, alors $z.x>z.y$
viii) si $z\leq 0$ et $x\leq y$, alors $z.x\geq z.y$.

Remarque 1
Les propriétés (vii) et (viii) généralisent les propriétés (vi) et (vii) de la propriété 2, au sens où ces dernières en sont des cas particuliers, pour $z=-1$.

A nouveau, toutes ces propriétés de la multiplication sont encore valides dans les sous-ensembles $\mathbb N$, $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$ de $\mathbb R$. La propriété suivante, de nature différente, est très importante.

Propriété 4
Pour tous nombres réels $x,y$, si $xy=0$ alors $x=0$ ou $y=0$.

On peut la reformuler de manière peut-être plus suggestive par contraposée, un mode de raisonnement que nous exposerons dans le dernier chapitre : si $x$ et $y$ sont des nombres réels non nuls, alors le produit $x.y$ est non nul.

1.4. Exercices

Comme pour les exercices et les problèmes en général, il n’est pas anormal ou inquiétant de ne pas pouvoir résoudre ces exercices à la première tentative. L’essentiel est de chercher à les résoudre, pour mettre en oeuvre les connaissances acquises.

Exercice 1
o) Réécrire tous les propriétés de la leçon sous forme purement symbolique, en utilisant la section précédente (Le langage et l’expression mathématique).
i) Sachant que $1<\sqrt 2$, $\sqrt 2<2$, $2<e$, $e<3$, $3<\pi$ et $\pi<4$ (ce qu’on peut écrire abusivement $1<\sqrt 2<2<e<3<\pi<4$), comparer à l’aide de la relation $<$ les nombres réels $-\sqrt 2,-\pi$ et $-e$. Représenter tous ces nombres sur la droite réelle.
ii) Etablir que que $e-\sqrt 2>0$.
iii) Etablir que $-2\pi<-6$.

2. Propriétés arithmétiques et géométriques de l’ensemble $\mathbb R$