Propriétés élémentaires des ensembles R, N, Z et Q [C1.I.3]

1. Structure naturelle de l’ensemble $\mathbb R$

La « structure de base » de l’ensemble $\mathbb R$, appelé aussi droite réelle (expression qui met l’accent sur le caractère à la fois arithmétique et géométrique de $\mathbb R$), consiste en les opérations habituelles d’addition (notée $+$) et de multiplication (notée $\times$), ainsi qu’en l’ordre linéaire (ou strict), noté $<$. Rappelons que l’ordre large, noté $\leq$, est défini ou caractérisé pour des nombres réels $x,y$ par $x\leq y$ si et seulement si $x<y$ ou $x=y$.

Nous listons ici les propriétés élémentaires de ces opérations et relations, que nous avons déjà demandé à l’étudiant(e) ou la lectrice de mobiliser dans les nombreux exemples et exercices de la section précédente.

Même si à ce niveau de compréhension, ces propriétés sont intuitives, nous pouvons les formuler de manière rigoureuse grâce à l’expression mathématique spécifique.

1.1. Les relations $<$ et $\leq$

Nous commençons par les propriétés des deux relations d’ordre $<$ et $\leq$.

Propriété 1.1
Si $x,y,z$ sont des nombres réels :
i) on a $x\leq x$
ii) si $x<y$ et $y<z$, alors $x<z$
iii) si $x\leq y$ et $y\leq z$, alors $x\leq z$
iv) si $x\leq y$ et $y\leq x$, alors $x=y$
v) on ne peut avoir à la fois $x<y$ et $y<x$
vi) on a $x<y$ si et seulement si $x\leq y$ et $x\neq y$
vii) on a $x\leq y$ si et seulement si $x<y$ ou $x=y$
viii) on a toujours soit $x<y$, soit $x=y$, soit $y<x$.

Toutes ces propriétés sont encore valides pour n’importe quel sous-ensemble de $\mathbb R$, donc en particulier pour les sous-ensembles $\mathbb N$, $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$ de $\mathbb R$, autrement dit si nous choisissons $x,y,z$ comme entiers naturels, entiers relatifs ou nombres rationnels, elles sont encore vraies.

Cependant, il faut faire attention à ce que toutes les propriétés mathématiques d’un ensemble donné ne sont pas toujours préservées dans un sous-ensemble : nous en verrons bientôt des exemples.

Pour l’étudiant(e) ou le lecteur curieux, il faut savoir que la préservation d’une propriété à un sous-ensemble dépend de la manière dont on peut écrire cette propriété; nous n’aborderons pas ceci en détail à cet endroit du cours

1.2. L’addition des nombres réels

En ce qui concerne l’addition et son rapport aux relations précédentes, on a les propriétés suivantes, parmi lesquelles on trouvera aussi le rapport des inégalités aux changements de signes.

Propriété 1.2
Si $x,y,z$ sont des nombres réels :
i) on a $x+0=0+x=x$
ii) on a $(x+y)+z=x+(y+z)$ (on dit que l’addition est associative)
iii) on a $x+y=y+x$ (on dit que l’addition est commutative)
iv) si $x<y$, alors $x+z<y+z$
v) si $x\leq y$, alors $x+z\leq y+z$
vi) si $x<y$, alors $-x>-y$
vii) si $x\leq y$, alors $-x\geq -y$.

Comme pour les propriétés de $<$ et $\leq$, ces propriétés de l’addition sont encore valables dans les ensembles $\mathbb N$, $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$.

1.3. La multiplication des nombres réels

En ce qui concerne la multiplication et son rapport à l’addition et aux relations d’ordre, on a les propriétés suivantes; on rappelle qu’on note $x.y$ et même souvent $xy$ le produit $x\times y$ de deux nombres réels $x$ et $y$.

Propriété 1.3
Si $x,y,z$ sont des nombres réels :
i) on a $x.1=x$ et $x.0=0$
ii) on a $(x.y).z=x.(y.z)$ (la multiplication est associative)
iii) on $x.y=y.x$ (la multiplication est commutative)
iv) $z.(x+y)=z.x+z.y$ (on dit que la multiplication est distributive sur l’addition)
v) si $z>0$ et $x<y$, alors $z.x<z.y$
vi) si $z\geq 0$ et $x\leq y$, alors $z.x\leq z.y$
vii) si $z<0$ et $x<y$, alors $z.x>z.y$
viii) si $z\leq 0$ et $x\leq y$, alors $z.x\geq z.y$.

Remarque 1.4
Les propriétés (vii) et (viii) généralisent les propriétés (vi) et (vii) de la propriété 1.2, au sens où ces dernières en sont des cas particuliers, pour $z=-1$.

A nouveau, toutes ces propriétés de la multiplication sont encore valides dans les sous-ensembles $\mathbb N$, $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$ de $\mathbb R$. La propriété suivante, de nature différente, est très importante.

Propriété 1.5
Pour tous nombres réels $x,y$, si $xy=0$ alors $x=0$ ou $y=0$.

On peut la reformuler de manière peut-être plus suggestive par contraposée, un mode de raisonnement que nous exposerons dans le dernier chapitre : si $x$ et $y$ sont des nombres réels non nuls, alors le produit $x.y$ est non nul.

1.4. Exercices

Comme pour les exercices et les problèmes en général, il n’est pas anormal ou inquiétant de ne pas pouvoir résoudre ces exercices à la première tentative. L’essentiel est de chercher à les résoudre, pour mettre en oeuvre les connaissances acquises.

Exercice 1.6
o) Réécrire tous les propriétés de la leçon sous forme purement symbolique, en utilisant la section précédente (Le langage et l’expression mathématique).
i) Sachant que $1<\sqrt 2$, $\sqrt 2<2$, $2<e$, $e<3$, $3<\pi$ et $\pi<4$ (ce qu’on peut écrire abusivement $1<\sqrt 2<2<e<3<\pi<4$), comparer à l’aide de la relation $<$ les nombres réels $-\sqrt 2,-\pi$ et $-e$. Représenter tous ces nombres sur la droite réelle.
ii) Etablir que que $e-\sqrt 2>0$.
iii) Etablir que $-2\pi<-6$.

2. Propriétés arithmétiques et géométriques de l’ensemble $\mathbb R$