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Polynômes à une indéterminée [C2.III.1]

1.Principe de la théorie des polynômes

1.1.Equations et expressions polynomiales

Les équations dites « diophantiennes » (du nom du mathématicien grec Diophante d’Alexandrie) sont les équations de la forme $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0=0$, où les $a_i$ sont des nombres entiers relatifs. Des équations analogues, dites \og polynomiales », peuvent être étudiées plus généralement en choisissant pour $a_i$ des nombres quelconques, ou même les éléments d’un corps commutatif, ou d’un anneau commutatif unitaire quelconque.

Exemple 1.1
i) L’équation $3x^5-4x^3+16x^2-7=0$ est une équation diophantienne.
ii) L’équation $x^3-e x+\pi=0$ est une équation polynomiale, dite à coefficients réels (puisque $e$ et $\pi$ sont des nombres réels).

Dans l’expression générale écrite précédemment, on voit déjà apparaître une notation « générique », puisque le « degré » $n$ de l’équation n’est pas spécifié, pas plus que les coefficients de cette équation. Une telle approche est nécessaire lorsqu’on veut étudier de manière systématique ces équations, ou les équations d’un certain type.

Une telle étude systématique serait assez limitée (bien que possible) si nous persévérions dans l’usage de cette méthode « linguistique », et dans l’approche qui consiste à chercher les solutions d’une équation particulière.

Les mathématiciens ont inventé une approche révolutionnaire de l’étude de ce genre d’équations, qui consiste à s’intéresser non pas à l’équation elle-même, mais à l’expression au premier membre, qu’on appelle une « expression polynomiale », pour la transformer en un véritable objet mathématique, auquel on peut appliquer les méthodes de la théorie des anneaux.

1.2.Représenter les expressions polynomiales

L’idée sous-jacente fondamentale est de représenter l’expression polynomiale $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0$ par la suite (finie) de ses coefficients dans l’ordre croissant des « puissances de $x$ », ici $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n$, ce qu’on appelle un polynôme, et de reproduire deux choses :
i) les opérations symboliques du calcul littéral sur les expressions polynomiales par une addition et une multiplication des polynômes qui « prolongent » celles de l’anneau où sont prélevés les coefficients
ii) le « calcul » de la valeur d’une expression polynomiale obtenu en remplaçant la variable par un élément de l’anneau, ce qui se fait grâce à la notion algébrique d’homomorphisme d’anneaux.

1.3.Programme de l’article

Nous traiterons successivement dans cette première partie de la définition des polynômes, des opérations sur les polynômes, du calcul ou « évaluation » des polynômes pour une valeur donnée, et des « racines » d’un polynôme (qui formalisent la notion de « solution » d’une équation polynomiale). Nous verrons que cette conceptualisation de la notion de « solution » d’une équation nous amène à considérer, sur le plan de la théorie des anneaux, une division euclidienne de polynômes, analogue de la division euclidienne des entiers relatifs, et à la base d’une véritable « arithmétique » des polynômes, sujet de la seconde partie du cours.

2. Définition des polynômes et opérations sur les polynômes

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