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Droites dans le plan euclidien [C1.IV.3]

La géométrie du plan a été axiomatisée par Euclide d’Alexandrie dès l’Antiquité dans ses « Eléments », où l’on trouve en effet la première approche axiomatique connue sur le sujet, qui déduit de nombreux théorèmes d’un petit nombres de principes intuitifs admis sans démonstration, appelés  » postulats » et  » axiomes ». On appelle une telle approche « synthétique », puisqu’on construit la substance mathématique à partir d’une création axiomatique qui capture ou « synthétise » des intuitions fondamentales. Nous avons adopté une telle approche jusqu’ici pour définir et décrire les ensembles de nombres $\mathbb N$, $\mathbb Q$ et $\mathbb R$. Dans ce chapitre nous posons les fondements de la géométrie plane, et nous introduisons les concepts de base de l’algèbre linéaire et de la géométrie affine, à partir d’une approche concrète qui prend le contrepied de l’approche synthétique et qu’on dit plutôt « analytique ». Il s’agit de définir le plan à partir d’autres objets mathématiques auxquels on le « réduit », plutôt que d’adopter une approche axiomatique. Ici, c’est grâce à des rudiments de théorie naïve des ensembles et à la description de l’ensemble $\mathbb R$ développée au chapitre précédent, que nous allons décrire le plan. Nous adoptons cette approche pour plusieurs raisons. D’une part, elle permet d’intégrer complètement la géométrie et la théorie des nombres, grâce aux notions de coordonnées introduites par Descartes. D’autre part, elle sert de modèle à la construction de la géométrie affine (basée sur les points) à partir de l’algèbre linéaire (basée sur les vecteurs). Ajoutons également que la géométrie euclidienne du plan était en fait insuffisamment axiomatisée : il manquait aux axiomes d’Euclide des axiomes, implicites dans ses démonstrations, à propos des angles; ce défaut a été corrigé par le mathématicien David Hilbert dès la fin du 19ième siècle, mais le résultat est moins économique et satisfaisant, et il nous semble que la théorie des angles se comprend mieux en première approche d’un point de vue analytique. Par ailleurs, ce point de vue permet d’accéder directement aux mesures des longueurs, ce qui est bien commode, notamment pour la trigonométrie. Nous retrouverons alors les axiomes et théorèmes antiques de la géométrie euclidienne synthétique sous la forme de théorèmes ou de définitions de la géométrie analytique du plan. Dans ce chapitre, nous introduisons d’abord la géométrie affine du plan, c’est-à-dire ici de l’ensemble $\mathbb R^2$ des couples de nombres réels. Les propriétés dites affines sont celles qui sont associées au parallélisme, et ne dépendent donc essentiellement que de la possibilité d’inverser les nombres réels non nuls. Il s’agit donc d’une première approche des relations élémentaires entre arithmétique et géométrie, déjà esquissée à propos des rapports entre division euclidienne et partie entière rationnelle d’une part, entre primalité relative et commensurabilité d’autre part. Nous n’entrerons pleinement dans la géométrie euclidienne que dans le chapitre suivant, à partir des notions d’orthogonalité et de distance.

1.Sous-corps de $\mathbb{R}$

Les « systèmes de nombres » à partir desquels nous pouvons faire de la géométrie cartésienne (c’est-à-dire, avec des coordonnées) sont des sous-ensembles $S$ de $\mathbb R$ qui contiennent l’ensemble $\mathbb Q$, autrement dit tels que $\mathbb Q\subseteq S\subseteq \mathbb R$. Par souci de simplicité, après cette section nous travaillerons toujours à partir des nombres réels, c’est-à-dire avec $S=\mathbb R$, mais il est important se souligner que cela n’est pas nécessaire, et que la géométrie euclidienne du plan est avant tout une question d’algèbre (théorie des équations) – plutôt que d’analyse (théorie des fonctions). Pour des raisons arithmétiques et géométriques, on demande pour l’instant à ces systèmes d’être « fermés » pour les opérations usuelles : addition, soustraction, multiplication, division. Ils répondent à la définition suivante :

Définition 1
Un sous-corps de $\mathbb R$ est un sous-ensemble $K$ de $\mathbb R$ tel que :
i) $0,1\in K$
ii) Pour tous $x,y\in K$, on a $x+y\in K$, $-x\in K$, $x.y\in K$ et $1/x\in K$ si $x\neq 0$. On note $K^*$ l’ensemble des éléments non nuls de $K$.

Remarque 1
i) Un sous-corps de $\mathbb R$ est un cas particulier de ce qu’on appelle un corps. Il n’est toutefois pas nécessaire de définir ici cette notion générale, tout comme il n’était pas nécessaire de définir ce qu’est un groupe pour définir un sous-groupe (additif) de $\mathbb R$ dans la section [Topologie de la droite réelle :: Sous-groupes additifs de $\mathbb R$]. Nous aborderons ces notions au début du semestre II.
ii) Un sous-corps de $\mathbb R$ est exactement un sous-groupe de $\mathbb R$ (ibid., définition 1), contenant $1$, et stable par divisions, c’est-à-dire tel que si $x,y\in K$ avec $y\neq 0$, on a $x/y=x.(1/y)\in K^*$. En effet, la multiplication $x\times y$ de $x,y\in K$ vaut $0$ si $y=0$, et vaut $x/(1/y)$ si $y\neq 0$.

L’intérêt de considérer des sous-corps de $\mathbb R$ qui ne sont pas tout l’ensemble $\mathbb R$, est que la réalisation de certaines constructions géométriques ne fait usage que d’un nombre limité de nombres réels, qu’on peut tous enfermer dans un tel sous-corps (c’est le cas par exemple des constructions dites à la règle et au compas). Les sous-corps réels différents de $\mathbb R$ et de $\mathbb Q$ les plus simples sont ce qu’on appelle des « extensions quadratiques réelles », dont le modèle est donné dans l’exemple suivant.

Exemple 1
L’ensemble des nombres réels de la forme $r+s\sqrt 2$, où $r,s\in\mathbb Q$, est un sous-corps de $\mathbb R$, noté $\mathbb Q(\sqrt 2)$. En effet, on a $0=0+0\sqrt 2$ et $1=1+0\sqrt 2$, donc $0,1\in \mathbb Q(\sqrt 2),$ et si $x=r+s\sqrt 2$ et $y=t+u\sqrt 2$ sont des éléments de $\mathbb Q(\sqrt 2),$ on a $r,s,t,u\in \mathbb Q,$ d’où $-x=-r-s\sqrt 2\in \mathbb Q(\sqrt 2),$ $x+y=(r+t)+(s+u)\sqrt 2\in \mathbb Q(\sqrt 2),$ $x.y=(r+s\sqrt 2).(t+u\sqrt 2)=(rt+2su)+(ry+st)\sqrt 2\in \mathbb Q(\sqrt 2)$. En ce qui concerne l’inversion, supposons que $x=r+s\sqrt 2\neq 0$ : si $s=0$, alors $x=r$ et évidemment $1/x=1/r\in \mathbb Q(\sqrt 2);$ tandis que si $s\neq 0$, on a $r-s\sqrt 2\neq 0$ (sinon $r/s=\sqrt 2\in \mathbb Q,$ ce qui contredit l’irrationalité de $\sqrt 2$ (voir [Arithmétique des nombres rationnels, Proposition 3]), et par intégrité (Axiomes et structures de l’ensemble $\mathbb R$, Lemme 7) on a $r^2-2s^2=(r+2\sqrt s).(r-2\sqrt s)\neq 0$ (puisque $r+\sqrt 2\neq 0$ par le même argument), si bien qu’on peut écrire $1/(r+s\sqrt 2)=(r-s\sqrt 2)/(r^2-2s^2)=(r/(r^2-2s^2))+((-s)/(r^2-2s^2)).\sqrt 2,$ ce qui est bien par définition un élément de $\mathbb Q(\sqrt 2)$, lequel est donc un sous-corps de $\mathbb R$.

La définition d’un sous-corps enveloppe en fait la propriété suivante :

Proposition 1
Si $K$ est un sous-corps de $\mathbb R$, alors on a $\mathbb Q\subseteq K$.

Démonstration
Par récurrence sur $n\in\mathbb N$, on démontre facilement que $n\in K$ pour tout $n\in\mathbb N$, si bien que $\mathbb N\subseteq K$. Comme $0\in K$, par définition pour tout $n\in\mathbb N$ on a $-n=0-n\in K$, donc $\mathbb Z\subseteq K$. Si $r\in\mathbb Q$, on peut écrire $r$ sous la forme d’un quotient $a/b$, avec $a,b\in \mathbb Z$ et $b\neq 0$ : par définition aussi, comme $a,b\in K$ on a bien $r=a/b\in K$, donc finalement $\mathbb Q\subseteq K$. $\square$

Les sous-corps de $\mathbb R$ sont donc des « extensions » de l’ensemble $\mathbb Q$ des nombres rationnels par certains nombres réels, par exemple la mesure de la distance entre deux points, qu’on calcule grâce à des racines carrées de quantité exprimées à partir de leurs coordonnées, comme nous le verrons dans la suite.

Dans toute la suite du chapitre, nous ne travaillerons qu’à partir de l’ensemble $\mathbb R$ des nombres réels. Le lecteur/la lectrice courageux(se) pourra essayer de remplacer partout $\mathbb R$ par un sous-corps $K$ de $\mathbb R$ et vérifier que les énoncés géométriques sont toujours valables, à ceci près que le calcul des distances entres deux points à coordonnées dans $K$ ne fournira pas toujours un résultat dans $K$, bien que leurs carrés seront toujours des éléments de $K$.

2.Points et vecteurs

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