Mathesis est une synthèse des mathématiques modernes, dans un corpus de connaissances en plusieurs volumes cumulatifs et modulaires. Le contenu de Mathesis est celui d’une Licence de mathématiques du meilleur niveau, augmentée de compléments essentiels et substantiels peu ou pas étudiés à l’Université. L’objectif de Mathesis est l'intégration du noyau de la mathématique supérieure dans un seul cursus complet, auto-suffisant et accessible à tous.

Le corpus se divise comme une Licence classique en trois « années », de deux « semestres » chacune. Ces six semestres forment six « cycles » d’apprentissage récurrents et abordant tous les sujets. Chaque semestre ou cycle comporte cinq ou six cours compacts. La matière est rassemblée selon cinq grands axes de connaissance mathématique : Logique et combinatoire, Théorie des nombres, Algèbre, Géométrie, Analyse et topologie.

Je m’appelle Jean Barbet, je suis diplômé de Biologie et Sciences de l’environnement et Docteur en Mathématiques pures. Mathématicien indépendant, j’ai enseigné les mathématiques pendant plus de dix ans. Après avoir pratiqué la recherche expérimentale, j'ai préféré me réorienter vers la mathématique comme science auto-suffisante où tout peut être démontré, sans « boîte noire » théorique ou technologique. Lors de ma reconversion, j’ai constaté certaines limites matérielles de l’université : par manque de temps, le volume des contenus enseignés est restreint et par manque de moyens, les enseignements se concentrent sur l’Algèbre et l’Analyse. La multiplication du nombre d'enseignants ne permet pas non plus une approche uniforme. 

Pour combler mes lacunes et compléter mon apprentissage, j'ai du intégrer les connaissances universitaires et leur ajouter des éléments survolés ou absents dans l’enseignement classique.  La Théorie des nombres et la Géométrie sont des disciplines antiques fondatrices et des motivations intrinsèques essentielles à l’Algèbre, à l’Analyse et à la Physique. La Logique mathématique, base de l’informatique théorique, est peu enseignée mais essentielle en relation aux fondements et à la méthode mathématiques. Cet exercice d’étudiant s'est continué par une projet d'envergure consistant à rassembler des connaissances mathématiques « essentielles » dans un noyau, un système complet et auto-suffisant, accessible à tous, à la fois corpus de référence et cursus d'apprentissage de A à Z.

Je rédige progressivement les volumes du corpus de Mathesis sous la forme de livres électroniques (« e-books ») contenant le cours complet, et accessibles sur La Règle et le Compas à l'adresse suivante : 

https://reglecompas.fr/ebooks.

Mathesis est conçu comme un programme de construction naturelle de la connaissance mathématique, sous la forme d’une série de cours individualisés. De nombreux manuels ou programmes introduisant d’emblée les concepts abstraits pour réduire les objets naturels à de simples exemples, nous proposons plutôt de partir de l’intuition naturelle des objets mathématiques élémentaires et de construire l’abstraction de manière progressive. Les contraintes académiques et le contenu mathématique conduisent souvent à séparer la matière en « domaines » : mais ceux-ci ne sont pas étanches et j’ai voulu proposer un cursus unique qui les aborde de manière cyclique et transversale, à contre-pied de l’usage courant. 

La matière est divisée selon des thèmes rassemblés par cours compacts (5 ou 6 par semestre), et chaque cycle ou semestre forme une unité supérieure liant naturellement les différents cours et thèmes. Les liens peuvent être des rapports de nécessité logique (notions nécessaires pour aborder d'autres notions) ou des rapports de proximité thématique (analogues d’une même notion). Chaque cycle reprend les différents sujets avec des ajouts successifs, selon une progression cumulative, et chaque domaine se construit pour lui-même dans un schéma "en hélice" (un tour représente un cycle, un axe vertical un sujet). Contrairement aux enseignements et aux manuels classiques, où l'on sépare souvent cours et les exercices, dans Mathesis la théorie et la pratique forment une unité, la connaissance et la compétence sont intégrées naturellement. 

Les cours de chaque cycle abordent chacun une thématique cohérente et bien identifiée. Chaque cours est un volume compact d'environ une vingtaine de leçons ou un mois d’enseignement, et constitue une unité de valeur et un accomplissement personnel. L’approche de Mathesis est auto-suffisante et complète : le corpus intégré unique permet d’acquérir les connaissances et compétences nécessaires sans avoir à suivre d'autres manuels ou d'autres cours. Il n’y a donc pas de prérequis substantiels pour étudier le corpus ou suivre le cursus : les éléments sont introduits au fur et à mesure. Une expérience des mathématiques du niveau du lycée est un avantage mais n’est pas indispensable.

Les cours individuels permettent d’utiliser Mathesis pour compléter son propre cursus ou satisfaire sa curiosité en choisissant un cours particulier, ou de travailler une thématique spécifique en sélectionnant certains cours, ou encore de construire un cursus d'apprentissage sur mesure (approche modulaire). La connaissance devrait à mon sens être une aventure : Mathesis est aussi un récit, qui raconte un voyage au coeur de l’univers mathématique moderne, et en tant que cursus, Mathesis est un chemin d’apprentissage sûr de la science mathématique.

Le programme suivant est donné à titre indicatif et sera régulièrement mis à jour. Le corpus se divise en trois années de deux semestres chacune. Chaque semestre est un cycle d'apprentissage, lesquels sont donc au nombre de six. Les cours sont numérotés à l'intérieur de chaque semestre ou cycle.

Le premier cycle de Mathesis vise à mettre en place des bases complètes, à partir de l'intuition des objets mathématiques essentiels de leur conceptualisation élémentaire via la théorie naïve des ensembles et la logique mathématique naturelle. C'est donc d'abord un parcours d’introduction : nous décrivons et axiomatisons les ensembles fondamentaux que sont N (entiers naturels), Z (entiers relatifs), Q (nombres rationnels), R (nombres réels), C (nombres complexes) et H (quaternions), dont nous démontrons les propriétés élémentaires.

C'est l'occasion d'acquérir la méthode mathématique moderne : conceptualisation ensembliste, la rigueur descriptive et démonstrative, apprentissage systématique de la démonstration. Une première théorie mathématique élémentaire permet d'intégrer le premier niveau du système, dans lequel nous abordons de nombreux autres sujets : arithmétique rationnelle, géométrie euclidienne, courbes dans les espaces de dimension supérieure... Tous les sujets sont abordés à un niveau élémentaire à partir de leurs liens naturels, plutôt qu'à partir de théories abstraites. L'étudiant(e) de Mathesis découvrira par exemple l'infini mathématique (cours n°2) et la géométrie différentielle (cours n°6) dès ce premier cycle.