M A T H E S I S

Intégrer la connaissance
mathématique

Qu'est-ce que  M A T H E S I S ?

Mathesis est un système de mathématiques supérieures, qui se présente comme un corpus de connaissances en plusieurs volumes cumulatifs et modulaires.

Le contenu de Mathesis est celui d’une Licence de mathématiques du meilleur niveau, augmentée de compléments essentiels et substantiels peu ou pas étudiés à l’Université.

Le corpus se divise comme une Licence classique en trois « années », de deux « semestres » chacune. Ces six semestres forment six « cycles » d’apprentissage récurrents et abordant tous les sujets. Chaque semestre ou cycle comporte cinq ou six cours compacts.

La matière est rassemblée selon cinq grands axes de connaissance mathématique : Logique et combinatoire, Théorie des nombres, Algèbre, Géométrie, Analyse et topologie.

L’objectif de Mathesis est d’intégrer le noyau de la mathématique supérieure dans un seul corpus complet, auto-suffisant et accessible à tous.

Mathesis est aussi un cursus intégré, élaboré à partir du corpus écrit, et dispensé sous la forme de cours vidéo en ligne, qui proposent un rythme d’apprentissage et une expérience alternative ou complémentaire.

Historique et objectif

Je m’appelle Jean Barbet, je suis diplômé de sciences expérimentales (Maîtrise de biologie et 3ème cycle de Sciences de l’environnement) et Docteur en Mathématiques pures (Université Lyon 1, 2010). Je suis mathématicien indépendant et j’ai enseigné les mathématiques pendant plus de dix ans.

Après une expérience techno-scientifique de la recherche en écophysiologie, je me suis réorienté vers la mathématique. J’étais alors en quête d’une science auto-suffisante où tout pouvait être démontré, sans « boîte noire » théorique ou technologique.

Inscrit directement en 3ème année de Licence, j’ai expérimenté dans ma situation particulière certaines limites matérielles de l’université. Par manque de temps, le volume des contenus enseignés est restreint et par manque de moyens, les enseignements se concentrent sur l’Algèbre et l’Analyse. La multiplicité des enseignants ne permet pas non plus de proposer une approche uniforme.

Ayant du effectuer un travail personnel dans les ouvrages spécialisés pour combler mes lacunes et compléter mon apprentissage, ce fut l’occasion de commencer un effort continué pour intégrer les connaissances et leur ajouter des éléments survolés ou absents dans l’enseignement universitaire.

La Théorie des nombres et la Géométrie sont des disciplines antiques fondatrices et des motivations intrinsèques essentielles à l’Algèbre et l’Analyse. La géométrie est également essentielle à la physique.

La Logique mathématique, base de l’informatique théorique, est peu enseignée, et il s’agit pourtant d’un apprentissage essentiel en relation aux fondements et à la méthode mathématiques.

Ce qui était un exercice d’étudiant est devenu un projet continué : rassembler les connaissances mathématiques « essentielles » dans un noyau, une somme complète et auto-suffisante, accessible à tous.

Mathesis s’élabore comme un « système » de mathématiques, et je souhaite transmettre ce système comme un corpus écrit et un cursus en ligne pour permettre à quiconque d’apprendre la mathématique supérieure de A à Z par soi-même.

E-books et/ou Cours en ligne

Je rédige progressivement les volumes du corpus écrit de Mathesis sous la forme de livres électroniques (« e-books ») contenant le cours complet, et accessibles sur « La Règle et le Compas » à l'adresse suivante : 

https://reglecompas.fr/ebooks.

Chaque volume correspond à un cours, que je dispense également sous la forme d’un cours en ligne au format Screencast (exposé audio du cours avec diaporama). Le cursus en ligne est proposé sur

Mathesis – Ecole Virtuelle de Mathématique.

Le programme du corpus/cursus est disponible en bas de page.

En achetant les e-books ou les cours de Mathesis, vous soutenez également ce projet d’intégration de la connaissance mathématique et vous participez ainsi à son élaboration.

Approche épistémique et pédagogique

Mathesis est conçu comme un programme de construction naturelle de la connaissance mathématique, sous la forme d’une série d’ouvrages individualisés par cours.

Tandis que de nombreux manuels ou programmes introduisent d’emblée les concepts abstraits pour réduire les objets naturels à de simples exemples, je propose de partir de l’intuition naturelle des objets mathématiques élémentaires et de construire l’abstraction de manière progressive.

Les contraintes de l’enseignement académique et le contenu mathématique lui-même font qu’on sépare souvent la matière mathématique en « domaines ». Ces domaines ne sont toutefois pas étanches, et j’ai voulu proposer ici un cursus unique, qui les aborde de manière cyclique et transversale, à contre-pied de l’usage courant.

La matière est divisée selon des thèmes rassemblés par cours compacts (5 ou 6 par semestre), et chaque cycle ou semestre forme une unité supérieure à partir de liens naturels entre les différents cours et thèmes.

Ces liens peuvent être des rapports de nécessité logique (certaines notions sont nécessaires pour aborder des notions de niveau comparable) ou des rapports de proximité thématique (analogues d’une même notion dans des champs différents).

Chaque cycle propose un retour sur les différents sujets avec des ajouts successifs, selon une progression cumulative comparable à la pédagogie de l’école élémentaire. Chaque domaine se construit ainsi également pour lui-même, l’ensemble présentant alors une structure « hélicoïdale » : un tour d’hélice représente un cycle, et les apports sur un sujet se cumulent verticalement.

Les enseignements universitaires et les manuels de mathématiques séparent souvent les cours et les exercices. Dans Mathesis la théorie et la pratique forment une unité, la connaissance et la compétence sont intégrées, et les exercices et problèmes illustrent et complètent naturellement le cours.

Des compléments essentiels et substantiels aux cursus habituels de Licence (en logique, théorie des nombres, géométrie...), sont ajoutés, pour proposer un enseignement complet, fonder tous les aspects de la connaissance mathématique élémentaire et les lier.

Parce que les cours se concentrent sur une thématique particulière, il est également possible d’utiliser Mathesis pour un apprentissage modulaire par thème. En choisissant un sujet spécifique, l’étudiant(e) peut sélectionner les cours pertinents pour acquérir cette discipline particulière.

Apprendre avec  M A T H E S I S

Les cinq ou six cours de chaque cycle abordent chacun une thématique cohérente et bien identifiée. Chaque cours se présente comme un volume compact, correspondant environ à une vingtaine de leçons ou un mois d’enseignement, et constitue une unité de valeur acquise en elle-même et un accomplissement personnel.

L’approche de Mathesis est auto-suffisante et complète : le corpus intégré unique permet d’acquérir les connaissances et compétences nécessaires sans avoir à suivre d'autres manuels ou d'autres cours.

L’individualisation des cours permet d’utiliser Mathesis pour compléter son propre cursus ou satisfaire sa curiosité en choisissant un cours particulier. Elle permet également de travailler une thématique spécifique en sélectionnant seulement certains cours, ou de construire un cursus d'apprentissage sur mesure (approche modulaire).

Il n’y a pas de prérequis substantiels pour étudier le corpus ou suivre le cursus : les éléments sont introduits au fur et à mesure. Une expérience des mathématiques du niveau du lycée est un avantage confortable et un bon point de départ, mais elle n’est pas indispensable.

La connaissance, et en particulier la connaissance mathématique, devrait à mon sens être une aventure. En tant que corpus, Mathesis est aussi un récit, qui raconte un voyage au coeur de l’univers mathématique moderne. En tant que cursus, Mathesis est aussi un chemin d’apprentissage sûr de la science mathématique.

M A T H E S I S

Le Programme

Le programme suivant est donné à titre indicatif et sera régulièrement mis à jour. Le corpus se divise en trois années de deux semestres chacune. Chaque semestre est un cycle d'apprentissage, lesquels sont donc au nombre de six. Les cours sont numérotés à l'intérieur de chaque semestre ou cycle.

Première année

Semestre I   (Cycle 1)

Le premier cycle de Mathesis vise à mettre en place des bases complètes, au niveau de l'intuition des objets mathématiques fondamentaux et de leur conceptualisation élémentaire via la théorie naïve des ensembles et la logique mathématique naturelle.

Ce premier cycle est donc d'abord un parcours d’introduction, où nous décrivons, axiomatisons et démontrons les propriétés élémentaires des ensembles arithmético-géométriques fondamentaux que sont N (entiers naturels), Z (entiers relatifs), Q (nombres rationnels), R (nombres réels), C (nombres complexes) et H (quaternions).

C'est l'occasion d'acquérir la méthode mathématique moderne, qui consiste notamment en la conceptualisation ensembliste, la rigueur descriptive et démonstrative, et l'apprentissage systématique des règles de démonstration.

Une première théorie mathématique élémentaire permet d'intégrer le premier niveau du système, dans lequel nous abordons de nombreux autres sujets comme par exemple l'arithmétique rationnelle, la géométrie euclidienne ou les courbes dans les espaces de dimension supérieure.

Tous les sujets sont abordés à un niveau élémentaire en mettant en évidence leurs liens naturels, plutôt que d’attendre de pouvoir les exposer à partir de théories abstraites. A titre indicatif, l'étudiant(e) de Mathesis découvrira l'infini mathématique (cours n°2) et la géométrie différentielle (cours n°6) dès ce premier cycle.

Liste des cours du semestre

Cours/Volume n°1Entrer dans l’univers mathématique : ensembles naturels, logique mathématique et démonstrations

Découverte de l’univers mathématique. Langage et expression mathématiques. Propriétés des ensembles naturels. Théorie élémentaire des ensembles. Raisonnement mathématique.

Cours/Volume n°2 Ensembles, applications et numération : du fini à l’infini

Produits, relations et applications. Injections, surjections, bijections et nombre d'éléments. Dénombrement des ensembles finis. Infini mathématique.

Cours/Volume n°3 - Arithmétique élémentaire : des entiers naturels aux nombres rationnels

Axiomes et arithmétique de l’ensemble N. Axiomatisation et description de l'ensemble Z, arithmétique. Axiomatisation et description de l'ensemble Q, propriétés arithmétiques.

Cours/Volume n°4 - Géométrie euclidienne : des nombres rationnels aux nombres réels

Cours/Volume n°5 - Analyse réelle élémentaire : suites, fonctions, dérivation, intégration

Cours/Volume n°6 - Dimension supérieure : nombres complexes, espaces réels, courbes, quaternions