Distance entre deux points de l'espace comme norme du vecteur associé

La méthode analytique de Descartes, qui permet de représenter le plan euclidien comme le produit cartésien \(\mathbb R^2\) grâce à la théorie des nombres réels, permet également de représenter l'espace

Formule de multiplication des quaternions

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Les quaternions de Hamilton : un espace-temps algébrique

La multiplication complexe se prolonge naturellement en une multiplication en quatre dimensions, qui définit sur l'espace \(\mathbb R^4\) la structure de l'algèbre \(\mathbb H\) des quaternions de Hamilton. Cette multiplication

Décomposition de 2 et de 5 dans les entiers de Gauss

Nombres

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Les entiers de Gauss : une arithmétique imaginaire

Les entiers de Gauss sont les nombres complexes à coordonnées entières. Grâce à leur norme, sorte de mesure entière de leur taille, on peut décrire certaines de leurs propriétés arithmétiques.

Définition de π à partir de la fonction cosinus

Fonctions

Nombres

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Une définition analytique du nombre π

https://www.youtube.com/watch?v=IeSVgpUKJQM Introduction Lorsque nous avons introduit l'exponentielle circulaire, les fonctions trigonométriques cosinus et sinus ont été définies comme sa partie réelle et sa partie imaginaire. Nous en avons alors tiré les expressions

Algèbre

Géométrie

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La mesure des angles de vecteurs : où l’analyse rencontre l’algèbre

Introduction Dans Angles de vecteurs : intuition géométrique et définition algébrique, nous avons défini et décrit le groupe des angles de vecteurs du plan euclidien de manière algébrique, en utilisant une relation

Géométrie

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Angles de vecteurs : intuition géométrique et définition algébrique

Les angles de vecteurs sont les angles orientés habituels de la géométrie euclidienne plane. Grâce aux ressources de la théorie naïve des ensembles, on les définit de manière purement algébrique

Point du cercle trigonométrique correspondant à une rotation vectorielle plane

Géométrie

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Rotations vectorielles du plan : l’approche « analytique »

Les rotations vectorielle du plan (c'est-à-dire centrées en l'origine), se dérivent de manière analytique (par coordonnées) comme applications linéaires de déterminant \(1\), ce qui permet de les caractériser intégralement et

La fonction exponentielle circulaire "enroule" la droite réelle sur le cercle tirgonométrique

Fonctions

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L’exponentielle circulaire et les fonctions trigonométriques

A partir de la fonction exponentielle complexe, on peut définir une fonction "exponentielle circulaire", qui "enroule" la droite réelle sur le cercle trigonométrique, et permet de définir rigoureusement les fonctions

Fonctions

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Fonctions analytiques et exponentielle complexe

Certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être décrites "autour de chaque point" comme la somme d'une série dite "entière". Il s'agit des fonctions analytiques, réelles ou complexes, dont l'exemple typique est

Nombres

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Une infinité de nombres premiers

Les nombres entiers naturels premiers sont sont ceux qui n'ont pas d'autres diviseurs que 1 et eux-mêmes. Ils existent en nombre infini par le théorème d'Euclide, qui n'est pas

Fonctions

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Dériver une bijection inverse & l’exemple de la fonction exponentielle

https://youtu.be/VeG5ThInnjM Les relations entre les propriétés de monotonie, continuité et dérivation d'une fonction d'une variable réelle, permettent de dériver formellement la bijection inverse d'une fonction injective et dérivable. L'exemple le

Nombres

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Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? Des quotients de nombres dans un quotient d’ensemble

https://www.youtube.com/watch?v=pHjrx2G9AoU&feature=youtu.be L'intuition des nombres rationnels Les nombres rationnels, c'est-à-dire "fractionnaires", comme \(-\frac 1 2, \frac{27}{4}, \frac{312}{-6783},\ldots\), forment un ensemble intuitif qu'on note \(\mathbb Q\). C'est une extension de l'ensemble \(\mathbb Z\)

Représentation de la construction des entiers relatifs à partir des entiers naturels

Nombres

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Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ? Une représentation astucieuse

https://www.youtube.com/watch?v=ASbOgQe0iP0&feature=youtu.be Les nombres entiers relatifs sont une extension des nombres entiers naturels où l'existence d'une soustraction fournit un cadre mieux approprié à certaines questions d'arithmétique. On peut les décrire de

Trigonométrie

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Le cercle trigonométrique : où Pythagore rencontre Thalès

Le cercle trigonométrique permet de définir le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle orienté, et d'en donner une interprétation à travers les théorèmes de Thalès et de

Géométrie

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Le produit scalaire naturel : une combinaison numérique de vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs dans un espace réel est un nombre réel qui tient compte de la direction, du sens et de l'amplitude des deux vecteurs. 1.Le produit

Algèbre

Fonctions

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Polynômes à une indéterminée : la représentation combinatoire des équations

Les polynômes à une indéterminée sont des représentations mathématiques des expressions intervenant dans les équations polynomiales. Ils permettent l'application de méthodes algébriques à la résolution de ces équations Les équations

Nombres

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Qu’est-ce qu’un nombre complexe ? Une approche géométrique simple

https://www.youtube.com/watch?v=MIltmE0be6U Il existe diverses manières de définir les nombres complexes. La plus directe consiste à les regarder comme les points ou les vecteurs du plan. L'addition et la multiplication se

Ensembles

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Le fini et l’infini mathématiques : comparer et dénombrer

Un ensemble fini, c'est un ensemble qu'on peut dénombrer à l'aide des entiers naturels \(1,\ldots,n\) pour un certain entier naturel \(n\). Mais qu'est-ce que dénombrer ? Et qu'est-ce qu'un ensemble

Fonctions

Géométrie

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Tracer un cercle sur le plan : équations et paramètres

La définition d'un cercle est simple : il s'agit d'un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné. Cette distance est appelée le rayon et ce point

Géométrie

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Le Plan euclidien : géométrie antique et approche analytique

A partir de l'approche analytique de Descartes, qui consiste à introduire des coordonnées pour représenter les points du plan, et de la construction de Cauchy des nombres réels, on peut

Fonctions

Géométrie

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Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ? Définition et interprétation géométrique

https://www.youtube.com/watch?v=p3o-qNCQhlQ&t=235s La dérivée d'une fonction, c'est sa variation instantanée, autrement dit la pente de la tangente à la représentation graphique de la fonction en ce point 1. Idée générale : une

Ensembles

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Qu’est-ce qu’un ensemble ? Fonder la mathématique dans l’intuition

https://www.youtube.com/watch?v=uORGF5PzCw0 La théorie naïve des ensembles ou "science des patates" est le fondement naturel (et compréhensible !) de la science mathématique "Je sais ce qu'est le temps. Si tu me le

Les entiers naturels forment un ensemble infini

Nombres

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Qu’est-ce qu’un nombre entier naturel ? Définir ou axiomatiser

https://www.youtube.com/watch?v=3LqQzJ8LF80 La science mathématique ne cherche pas à définir la notion de nombre entier naturel, mais à comprendre l'ensemble des entiers naturels "Dieu a fait le nombre entier, le reste est

Nombres

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Qu’est-ce qu’un nombre réel ? La formidable construction de Cauchy

https://www.youtube.com/watch?v=3FN0pBnmXEQ Les nombres réels sont toutes les "grandeurs" qu'on peut ordonner, et on peut les "construire" de diverses manières grâce à la théorie des ensembles "Les nombres gouvernent le monde." Pythagore Les

Math6-0Nlin3_1

L’espace euclidien : points, vecteurs et produit scalaire

Les quaternions de Hamilton : un espace-temps algébrique

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